Номер 284, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

284. При проведении лабораторной работы были получены следующие данные: длина наклонной плоскости 1 м, высота 20 см, масса деревянного бруска 200 г, сила тяги при движении бруска вверх 1 Н. Найти коэффициент трения.

Дано:

Длина наклонной плоскости $L = 1$ м
Высота наклонной плоскости $h = 20$ см = $0.2$ м
Масса бруска $m = 200$ г = $0.2$ кг
Сила тяги $F_{тяги} = 1$ Н
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на брусок, движущийся равномерно вверх по наклонной плоскости. На брусок действуют:

• Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• Сила тяги $\vec{F}_{тяги}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх.
• Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости вниз, так как она противодействует движению.

Введем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY — перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $\vec{F}_{тяги} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m\vec{a}$.

Поскольку в условии задачи не указано, что движение происходит с ускорением, будем считать его равномерным, то есть ускорение $a = 0$. Тогда уравнение примет вид: $\vec{F}_{тяги} + m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = 0$.

Спроецируем силы на оси координат. Угол наклона плоскости обозначим как $\alpha$.

Проекция на ось OY: $N - mg \cos(\alpha) = 0$. Отсюда выразим силу реакции опоры: $N = mg \cos(\alpha)$.

Проекция на ось OX: $F_{тяги} - F_{тр} - mg \sin(\alpha) = 0$.

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры через коэффициент трения $\mu$: $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $N$, получим: $F_{тр} = \mu mg \cos(\alpha)$.

Теперь подставим выражение для силы трения в уравнение проекций на ось OX:

$F_{тяги} - \mu mg \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha) = 0$

Выразим из этого уравнения искомый коэффициент трения $\mu$:

$\mu mg \cos(\alpha) = F_{тяги} - mg \sin(\alpha)$

$\mu = \frac{F_{тяги} - mg \sin(\alpha)}{mg \cos(\alpha)}$

Синус и косинус угла наклона $\alpha$ найдем из геометрических соображений. Наклонная плоскость (гипотенуза $L$), ее высота (противолежащий катет $h$) и основание образуют прямоугольный треугольник.

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L} = \frac{0.2 \text{ м}}{1 \text{ м}} = 0.2$

Косинус угла найдем из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0.2)^2} = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96} \approx 0.98$

Теперь произведем вычисления. Сначала найдем силу тяжести:

$mg = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$

Подставим все численные значения в формулу для $\mu$:

$\mu = \frac{1 \text{ Н} - 2 \text{ Н} \cdot 0.2}{2 \text{ Н} \cdot \sqrt{0.96}} = \frac{1 - 0.4}{2 \cdot \sqrt{0.96}} = \frac{0.6}{2 \cdot 0.9798} \approx \frac{0.6}{1.9596} \approx 0.306$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $\mu \approx 0.31$.