Номер 287, страница 42 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

287. Наклонная плоскость расположена под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. При каких значениях коэффициента трения $\mu$ тянуть по ней груз труднее, чем поднимать его вертикально?

Дано:

Угол наклона плоскости $ \alpha = 30^\circ $

Найти:

Значения коэффициента трения $ \mu $, при которых тянуть груз по наклонной плоскости труднее, чем поднимать его вертикально.

Решение:

1. Определим силу $ F_{верт} $, необходимую для вертикального подъема груза. Чтобы поднять груз массой $m$ (преодолевая силу тяжести), необходимо приложить силу, равную его весу:

$ F_{верт} = mg $

где $g$ — ускорение свободного падения.

2. Теперь определим силу $ F_{накл} $, необходимую для того, чтобы тянуть груз вверх по наклонной плоскости. На груз действуют:

• Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции $N$, перпендикулярная плоскости.
• Сила трения $F_{тр}$, направленная вдоль плоскости против движения.
• Сила тяги $F_{накл}$, направленная вдоль плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, где ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Для равномерного движения (минимальная сила для перемещения) ускорение равно нулю.

Проекция на ось $Oy$:

$ N - mg \cos \alpha = 0 \implies N = mg \cos \alpha $

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции через коэффициент трения $\mu$:

$ F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha $

Проекция на ось $Ox$:

$ F_{накл} - mg \sin \alpha - F_{тр} = 0 $

Отсюда выразим силу тяги:

$ F_{накл} = mg \sin \alpha + F_{тр} = mg \sin \alpha + \mu mg \cos \alpha $

$ F_{накл} = mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) $

3. Согласно условию задачи, тянуть груз по наклонной плоскости труднее, чем поднимать вертикально. Это означает, что $ F_{накл} > F_{верт} $.

Подставим полученные выражения для сил в это неравенство:

$ mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) > mg $

Так как $mg > 0$, можно разделить обе части неравенства на $mg$, не меняя знака:

$ \sin \alpha + \mu \cos \alpha > 1 $

Теперь выразим $\mu$:

$ \mu \cos \alpha > 1 - \sin \alpha $

Для $ \alpha = 30^\circ $, $ \cos \alpha > 0 $, поэтому при делении на $ \cos \alpha $ знак неравенства сохраняется:

$ \mu > \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $

Подставим значения для угла $ \alpha = 30^\circ $:

$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Вычисляем значение для $\mu$:

$ \mu > \frac{1 - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Рационализируя знаменатель, получаем:

$ \mu > \frac{\sqrt{3}}{3} $

Приблизительное значение: $ \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 $.

Ответ: тянуть груз по наклонной плоскости труднее, чем поднимать его вертикально, при значениях коэффициента трения $ \mu > \frac{1}{\sqrt{3}} $ (или $ \mu > \frac{\sqrt{3}}{3} $).