Номер 363, страница 52 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 363, страница 52.

Условие.

363. С какой начальной скоростью $v_0$ надо бросить вертикально вниз мяч с высоты $h$, чтобы он после удара о землю подпрыгнул относительно начального уровня на высоту:

a) $\Delta h = 10 \text{ м}$;

б) $\Delta h = h$? Считать удар абсолютно упругим.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Высота броска = $h$

Высота подъема относительно начального уровня = $\Delta h$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Удар о землю является абсолютно упругим.

В случае а) $\Delta h = 10 \text{ м}$

В случае б) $\Delta h = h$

Найти:

Начальную скорость $v_0$

Решение:

Данную задачу можно решить с помощью закона сохранения механической энергии. Так как по условию удар мяча о землю является абсолютно упругим, и мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, полная механическая энергия системы "мяч-Земля" сохраняется на протяжении всего движения.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность земли.

В начальный момент времени мяч находится на высоте $h$ и имеет начальную скорость $v_0$, направленную вниз. Его полная механическая энергия в этот момент равна: $E_{начальная} = E_{кинетическая} + E_{потенциальная} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$ , где $m$ — масса мяча.

После упругого удара о землю мяч поднимается на максимальную высоту $H$. По условию, эта высота на $\Delta h$ больше начальной высоты $h$. Таким образом, максимальная высота подъема относительно земли составляет $H = h + \Delta h$. В верхней точке подъема скорость мяча равна нулю, поэтому его кинетическая энергия равна нулю, а полная механическая энергия состоит только из потенциальной: $E_{конечная} = mgH = mg(h + \Delta h)$

Поскольку полная механическая энергия сохраняется ($E_{начальная} = E_{конечная}$), мы можем приравнять два этих выражения: $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = mg(h + \Delta h)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh = mgh + mg\Delta h$

Сократим слагаемое $mgh$ в обеих частях уравнения: $\frac{1}{2}mv_0^2 = mg\Delta h$

Из этого уравнения выразим искомую начальную скорость $v_0$: $v_0^2 = 2g\Delta h$ $v_0 = \sqrt{2g\Delta h}$

Это общая формула для решения задачи. Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

а) По условию, мяч должен подпрыгнуть на высоту $\Delta h = 10 \text{ м}$ относительно начального уровня. Подставим это значение в полученную формулу, используя значение $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$: $v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{196 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 14 \text{ м/с}$

Ответ: $14 \text{ м/с}$.

б) По условию, мяч должен подпрыгнуть на высоту $\Delta h = h$ относительно начального уровня. Подставим $\Delta h = h$ в общую формулу: $v_0 = \sqrt{2gh}$

Ответ: $v_0 = \sqrt{2gh}$.