Номер 374, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

18. Закон сохранения энергии. Превращение энергии при действии силы тяжести; силы упругости; силы трения. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 374, страница 53.

Условие.

374. Рыболовная леска длиной $1 \text{ м}$ имеет прочность на разрыв $26 \text{ Н}$ и жёсткость $2,5 \text{ кН}/\text{м}$. Один конец лески прикрепили к опоре, расположенной над полом на высоте больше $1 \text{ м}$, а к другому концу привязали груз массой $50 \text{ г}$. Груз подняли до точки подвеса и отпустили. Разорвётся ли леска?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Длина лески $L = 1 \text{ м}$

Прочность на разрыв $F_{max} = 26 \text{ Н}$

Жёсткость лески $k = 2,5 \text{ кН/м}$

Масса груза $m = 50 \text{ г}$

В систему СИ:

$k = 2,5 \text{ кН/м} = 2,5 \cdot 10^3 \text{ Н/м} = 2500 \text{ Н/м}$

$m = 50 \text{ г} = 0,05 \text{ кг}$

Найти:

Разорвётся ли леска?

Решение:

Для ответа на вопрос необходимо определить максимальную силу натяжения $F_{нат}$, которая возникнет в леске, и сравнить её с пределом прочности $F_{max}$. Если $F_{нат} > F_{max}$, леска разорвётся.

Максимальная сила натяжения возникнет в нижней точке траектории, когда растяжение лески будет максимальным. Для нахождения этого максимального растяжения воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение груза. В начальный момент груз находится на высоте точки подвеса. Его начальная высота относительно нулевого уровня будет $h = L + \Delta L$, где $L$ - начальная длина лески, а $\Delta L$ - её максимальное растяжение. Начальная скорость груза равна нулю.

Начальная энергия системы $E_1$ равна потенциальной энергии груза:

$E_1 = mgh = mg(L + \Delta L)$

В конечный момент, в самой нижней точке, скорость груза на мгновение становится равной нулю, а леска максимально растянута. Вся механическая энергия системы переходит в потенциальную энергию упругой деформации лески $E_2$:

$E_2 = \frac{k(\Delta L)^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mg(L + \Delta L) = \frac{k(\Delta L)^2}{2}$

Мы получили квадратное уравнение относительно максимального растяжения $\Delta L$:

$\frac{k}{2}(\Delta L)^2 - mg\Delta L - mgL = 0$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Сила тяжести груза: $mg = 0,05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 0,5 \text{ Н}$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2500}{2}(\Delta L)^2 - 0,5 \Delta L - 0,5 \cdot 1 = 0$

$1250(\Delta L)^2 - 0,5\Delta L - 0,5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-0,5)^2 - 4 \cdot 1250 \cdot (-0,5) = 0,25 + 2500 = 2500,25$

Нас интересует только положительный корень, так как растяжение не может быть отрицательным:

$\Delta L = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,5 + \sqrt{2500,25}}{2 \cdot 1250} = \frac{0,5 + 50,0025}{2500} \approx \frac{50,5}{2500} \approx 0,0202 \text{ м}$

Теперь, зная максимальное растяжение, найдём максимальную силу натяжения лески по закону Гука:

$F_{нат} = k \cdot \Delta L$

$F_{нат} = 2500 \text{ Н/м} \cdot 0,0202 \text{ м} = 50,5 \text{ Н}$

Сравним полученное значение с прочностью лески на разрыв:

$F_{нат} = 50,5 \text{ Н}$

$F_{max} = 26 \text{ Н}$

Так как $F_{нат} > F_{max}$ ($50,5 \text{ Н} > 26 \text{ Н}$), леска не выдержит и разорвётся.

Ответ: Да, леска разорвётся.