Номер 400, страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

19. Мощность. КПД. Движение жидкостей и газов. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 400, страница 57.

Условие.

400. Какую наименьшую работу надо совершить, чтобы по плоскости с углом наклона $30^\circ$ на высоту 2 м втащить груз, прикладывая силу, совпадающую по направлению с перемещением? Масса груза 400 кг, коэффициент трения 0,3. Каков при этом КПД?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$

Высота подъема, $h = 2$ м

Масса груза, $m = 400$ кг

Коэффициент трения, $\mu = 0,3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Наименьшую работу $A_{полн}$

Коэффициент полезного действия $\eta$

Решение:

Наименьшая работа совершается при равномерном подъеме груза (без ускорения). В этом случае сила тяги $F$, направленная вдоль плоскости, должна уравновесить сумму проекции силы тяжести на эту плоскость $F_{тx}$ и силы трения $F_{тр}$.

Нарисуем диаграмму сил и выберем систему координат: ось OX направим вдоль наклонной плоскости вверх, а ось OY – перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона, в проекции на ось OY сумма сил равна нулю: $N - mg \cos\alpha = 0$. Отсюда находим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos\alpha$

Сила трения скольжения равна: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

В проекции на ось OX сумма сил также равна нулю: $F - F_{тx} - F_{тр} = 0$, где $F_{тx} = mg \sin\alpha$. Отсюда выражаем силу тяги:

$F = mg \sin\alpha + F_{тр} = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$.

Работа, совершаемая силой тяги, вычисляется по формуле $A_{полн} = F \cdot s$, где $s$ — это расстояние, пройденное грузом вдоль наклонной плоскости. Из геометрии наклонной плоскости имеем: $s = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Подставив выражения для $F$ и $s$, получим формулу для полной (затраченной) работы:

$A_{полн} = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha) \frac{h}{\sin\alpha} = mgh \left(1 + \frac{\mu \cos\alpha}{\sin\alpha}\right) = mgh(1 + \mu \cot\alpha)$.

Выполним вычисления, используя значения $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$:

$A_{полн} = 400 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м} \cdot (1 + 0,3 \cdot \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)}) = 7840 \cdot (1 + 0,3 \cdot \frac{0,866}{0,5}) = 7840 \cdot (1 + 0,5196) \approx 11914$ Дж.

Таким образом, наименьшая работа составляет приблизительно $11,9$ кДж.

Коэффициент полезного действия (КПД) — это отношение полезной работы к полной работе: $\eta = \frac{A_{полез}}{A_{полн}}$.

Полезная работа $A_{полез}$ — это работа, затраченная на преодоление силы тяжести, то есть на увеличение потенциальной энергии груза: $A_{полез} = mgh$.

$A_{полез} = 400 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 2 \text{ м} = 7840$ Дж.

Теперь можно рассчитать КПД:

$\eta = \frac{A_{полез}}{A_{полн}} = \frac{7840 \text{ Дж}}{11914 \text{ Дж}} \approx 0,658$.

Можно также использовать выведенную ранее формулу:

$\eta = \frac{mgh}{mgh(1 + \mu \cot\alpha)} = \frac{1}{1 + \mu \cot\alpha} = \frac{1}{1 + 0,3 \cdot \cot(30^\circ)} \approx \frac{1}{1 + 0,3 \cdot 1,732} = \frac{1}{1,5196} \approx 0,658$.

Выразим КПД в процентах: $\eta \approx 65,8\% \approx 66\%$.

Ответ: наименьшая работа, которую надо совершить, составляет $A_{полн} \approx 11,9$ кДж; КПД при этом равен $\eta \approx 66\%$.