Номер 399, страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

19. Мощность. КПД. Движение жидкостей и газов. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 399, страница 57.

Условие.

399* Троллейбус массой 12 т подходит к подъёму высотой 12 м и длиной 180 м со скоростью 10 м/с. Найти среднюю мощность при подъёме, если конечная скорость троллейбуса равна 5 м/с, а коэффициент сопротивления 0,03.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

$m = 12 \text{ т} = 12000 \text{ кг}$
$h = 12 \text{ м}$
$L = 180 \text{ м}$
$v_1 = 10 \text{ м/с}$
$v_2 = 5 \text{ м/с}$
$\mu = 0,03$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$P_{ср} - ?$

Решение:

Среднюю мощность двигателя троллейбуса $P_{ср}$ можно найти как отношение работы $A_{тяги}$, совершённой силой тяги двигателя, ко времени $t$, за которое эта работа была совершена:

$P_{ср} = \frac{A_{тяги}}{t}$

Для нахождения работы силы тяги воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение полной механической энергии системы равно работе внешних непотенциальных сил. В нашем случае, работа силы тяги идет на изменение кинетической энергии, изменение потенциальной энергии и на преодоление силы сопротивления.

$A_{тяги} = \Delta E_k + \Delta E_p + A_{сопр}^{преод}$

Или, в другой форме, полная работа всех сил (силы тяги, силы тяжести и силы сопротивления) равна изменению кинетической энергии:

$\Delta E_k = A_{тяги} + A_{тяж} + A_{сопр}$

Отсюда работа силы тяги:

$A_{тяги} = \Delta E_k - A_{тяж} - A_{сопр}$

1. Найдем изменение кинетической энергии $\Delta E_k$:
$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$
$\Delta E_k = \frac{12000 \text{ кг} \cdot ((5 \text{ м/с})^2 - (10 \text{ м/с})^2)}{2} = 6000 \cdot (25 - 100) = 6000 \cdot (-75) = -450000 \text{ Дж}$

2. Работа силы тяжести $A_{тяж}$ равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:
$A_{тяж} = -\Delta E_p = -mgh$
$A_{тяж} = -12000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 12 \text{ м} = -1411200 \text{ Дж}$

3. Работа силы сопротивления $A_{сопр}$ отрицательна и равна $A_{сопр} = -F_{сопр} \cdot L$. Сила сопротивления (трения качения) $F_{сопр}$ пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$: $F_{сопр} = \mu N$.
На наклонной плоскости $N = mg \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона.
Синус угла наклона: $\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{12 \text{ м}}{180 \text{ м}} = \frac{1}{15}$.
Косинус угла наклона: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{15})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{225}} = \sqrt{\frac{224}{225}} = \frac{\sqrt{224}}{15}$.
Тогда работа силы сопротивления:
$A_{сопр} = -\mu mgL \cos\alpha = -0,03 \cdot 12000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 180 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{224}}{15}$
$A_{сопр} = -635040 \cdot \frac{\sqrt{224}}{15} \approx -635040 \cdot 0,99777 \approx -633600 \text{ Дж}$

4. Теперь можем найти работу силы тяги:
$A_{тяги} = -450000 \text{ Дж} - (-1411200 \text{ Дж}) - (-633600 \text{ Дж})$
$A_{тяги} = -450000 + 1411200 + 633600 = 1594800 \text{ Дж}$

5. Найдем время движения $t$. Будем считать движение равноускоренным. Тогда путь можно выразить через среднюю скорость:
$L = v_{ср} \cdot t = \frac{v_1 + v_2}{2} \cdot t$
Отсюда время движения:
$t = \frac{2L}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 180 \text{ м}}{10 \text{ м/с} + 5 \text{ м/с}} = \frac{360}{15} = 24 \text{ с}$

6. Наконец, рассчитаем среднюю мощность:
$P_{ср} = \frac{A_{тяги}}{t} = \frac{1594800 \text{ Дж}}{24 \text{ с}} = 66450 \text{ Вт}$
Переведем в киловатты: $66450 \text{ Вт} = 66,45 \text{ кВт}$.

Ответ: средняя мощность при подъёме равна $66450 \text{ Вт}$ или $66,45 \text{ кВт}$.