Номер 397, страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

19. Мощность. КПД. Движение жидкостей и газов. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 397, страница 57.

Условие.

397. Трактор типа Т-150 имеет тяговую мощность (мощность на крюке) 72 кВт. С какой скоростью может тянуть этот трактор прицеп массой 5 т на подъём 0,2 при коэффициенте сопротивления 0,4?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Тяговая мощность, $P = 72 \text{ кВт}$
Масса прицепа, $m = 5 \text{ т}$
Подъём (уклон), $i = \sin\alpha = 0,2$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,4$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$P = 72 \cdot 1000 = 72000 \text{ Вт}$
$m = 5 \cdot 1000 = 5000 \text{ кг}$

Найти:

Скорость, $v - ?$

Решение:

Для того чтобы трактор тянул прицеп с постоянной скоростью, его сила тяги $F_т$ должна уравновешивать все силы сопротивления. Силы сопротивления в данном случае состоят из двух компонентов: составляющей силы тяжести, направленной вдоль уклона вниз ($F_{g\parallel}$), и силы сопротивления движению ($F_{сопр}$).

$F_т = F_{g\parallel} + F_{сопр}$

Составляющая силы тяжести, параллельная поверхности подъёма, определяется как: $F_{g\parallel} = mg \sin\alpha$

Сила сопротивления движению (в данном случае, сила трения качения) пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$: $F_{сопр} = \mu N$

На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры равна составляющей силы тяжести, перпендикулярной этой плоскости: $N = mg \cos\alpha$

Следовательно, сила сопротивления равна: $F_{сопр} = \mu mg \cos\alpha$

Суммарная сила, которую должен преодолеть трактор, равна: $F_т = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha = mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$

Мощность $P$ связана с силой тяги $F_т$ и скоростью движения $v$ соотношением: $P = F_т \cdot v$

Отсюда можем выразить скорость: $v = \frac{P}{F_т} = \frac{P}{mg(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$

Нам дан синус угла наклона $\sin\alpha = 0,2$. Найдем косинус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0,2^2} = \sqrt{1 - 0,04} = \sqrt{0,96} \approx 0,98$

Теперь подставим все известные значения в формулу для скорости: $v = \frac{72000}{5000 \cdot 9,8 \cdot (0,2 + 0,4 \cdot \sqrt{0,96})} \approx \frac{72000}{49000 \cdot (0,2 + 0,4 \cdot 0,98)}$

$v \approx \frac{72000}{49000 \cdot (0,2 + 0,392)} = \frac{72000}{49000 \cdot 0,592} = \frac{72000}{29008} \approx 2,48 \text{ м/с}$

Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $v \approx 2,5 \text{ м/с}$.

Ответ: скорость, с которой трактор может тянуть прицеп, составляет примерно 2,5 м/с.