Номер 401, страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

19. Мощность. КПД. Движение жидкостей и газов. Глава III. Законы сохранения. Механика - номер 401, страница 57.

Условие.

401. Найти КПД наклонной плоскости длиной 1 м и высотой 0,6 м, если коэффициент трения при движении по ней тела равен 0,1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Длина наклонной плоскости, $l = 1$ м
Высота наклонной плоскости, $h = 0,6$ м
Коэффициент трения, $μ = 0,1$

Найти:

КПД наклонной плоскости, $η$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$ к полной (затраченной) работе $A_{затраченная}$.

$η = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}}$

Полезная работа при подъеме тела по наклонной плоскости заключается в увеличении его потенциальной энергии и равна работе против силы тяжести на высоте $h$:

$A_{полезная} = mgh$, где $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения.

Затраченная работа состоит из полезной работы и работы по преодолению силы трения $A_{трения}$ на всей длине наклонной плоскости $l$:

$A_{затраченная} = A_{полезная} + A_{трения}$

Работа против силы трения вычисляется по формуле:

$A_{трения} = F_{трения} \cdot l$

Сила трения $F_{трения}$ пропорциональна силе нормальной реакции опоры $N$ и коэффициенту трения $μ$:

$F_{трения} = μN$

На наклонной плоскости сила нормальной реакции опоры уравновешивает перпендикулярную к плоскости составляющую силы тяжести:

$N = mg \cos(α)$, где $α$ - угол наклона плоскости к горизонту.

Таким образом, работа против силы трения:

$A_{трения} = μmg \cos(α) \cdot l$

Теперь выразим косинус угла $α$ через длину $l$ и высоту $h$ наклонной плоскости. Длина, высота и горизонтальная проекция (основание) наклонной плоскости образуют прямоугольный треугольник. Пусть основание равно $b$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + b^2$, откуда $b = \sqrt{l^2 - h^2}$.

Косинус угла наклона равен отношению прилежащего катета $b$ к гипотенузе $l$:

$\cos(α) = \frac{b}{l} = \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l}$

Подставим это выражение в формулу для работы трения:

$A_{трения} = μmg \frac{\sqrt{l^2 - h^2}}{l} \cdot l = μmg\sqrt{l^2 - h^2}$

Теперь можно записать формулу для КПД, подставив в нее выражения для полезной и затраченной работы:

$η = \frac{A_{полезная}}{A_{полезная} + A_{трения}} = \frac{mgh}{mgh + μmg\sqrt{l^2 - h^2}}$

Масса $m$ и ускорение свободного падения $g$ сокращаются, и формула для КПД принимает вид, зависящий только от геометрических параметров плоскости и коэффициента трения:

$η = \frac{h}{h + μ\sqrt{l^2 - h^2}}$

Подставим числовые значения:

$η = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot \sqrt{1^2 - (0,6)^2}} = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot \sqrt{1 - 0,36}} = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot \sqrt{0,64}} = \frac{0,6}{0,6 + 0,1 \cdot 0,8} = \frac{0,6}{0,6 + 0,08} = \frac{0,6}{0,68}$

$η ≈ 0,88235$

Для выражения ответа в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$η ≈ 0,882 \cdot 100\% = 88,2\%$

Ответ: КПД наклонной плоскости составляет приблизительно 88,2%.