Номер 488, страница 67 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

23. Энергия теплового движения молекур. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры. Скорости молекул газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 488, страница 67.

Условие.

488. Найти число молекул в 1 кг газа, средняя квадратичная скорость которых при абсолютной температуре $T$ равна $v = \sqrt{\overline{v^2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Масса газа, $m = 1$ кг
Абсолютная температура, $T$
Средняя квадратичная скорость молекул, $v$

Найти:

Число молекул, $N$

Решение:

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа определяется его абсолютной температурой $T$:

$ \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT $

где $k$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К).

С другой стороны, средняя кинетическая энергия по определению связана с массой одной молекулы $m_0$ и средним квадратом скорости $\langle v^2 \rangle$:

$ \langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} $

По условию задачи, средняя квадратичная скорость равна $v$, т.е. $v = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$, следовательно, $\langle v^2 \rangle = v^2$. Тогда выражение для энергии принимает вид:

$ \langle E_k \rangle = \frac{m_0 v^2}{2} $

Приравняем правые части двух выражений для средней кинетической энергии:

$ \frac{m_0 v^2}{2} = \frac{3}{2}kT $

Из этого равенства выразим массу одной молекулы $m_0$. Для этого сначала умножим обе части на 2:

$ m_0 v^2 = 3kT $

Теперь разделим обе части на $v^2$:

$ m_0 = \frac{3kT}{v^2} $

Общее число молекул $N$ в газе массой $m$ можно найти как отношение общей массы газа к массе одной молекулы:

$ N = \frac{m}{m_0} $

Подставим в эту формулу найденное выражение для $m_0$:

$ N = \frac{m}{\frac{3kT}{v^2}} = \frac{m v^2}{3kT} $

По условию задачи масса газа $m = 1$ кг. Подставим это значение в итоговую формулу:

$ N = \frac{1 \cdot v^2}{3kT} = \frac{v^2}{3kT} $

Ответ: число молекул в 1 кг данного газа равно $N = \frac{v^2}{3kT}$.