Номер 489, страница 67 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

23. Энергия теплового движения молекур. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры. Скорости молекул газа. Глава V. Основы молекулярно-кинетической теории. Молекулярная физика и термодинамика - номер 489, страница 67.

Условие.

489². Найти, во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки массой $1.75 \cdot 10^{-12}$ кг, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости движения молекул воздуха.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Масса пылинки: $m_п = 1.75 \cdot 10^{-12}$ кг
Средняя молярная масса воздуха (справочное значение): $M_в = 29 \text{ г/моль} = 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Постоянная Авогадро (справочное значение): $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Найти:

Отношение средних квадратичных скоростей $\frac{v_в}{v_п}$

Решение:

Пылинка, взвешенная в воздухе, участвует в броуновском движении и находится в состоянии теплового равновесия с молекулами воздуха. Согласно закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы, средняя кинетическая энергия поступательного движения пылинки равна средней кинетической энергии поступательного движения молекулы воздуха.

Средняя кинетическая энергия частицы связана с ее массой $m$ и средней квадратичной скоростью $v_{кв}$ соотношением: $ \bar{E} = \frac{m v_{кв}^2}{2} $

Пусть $m_п$ и $v_п$ — масса и средняя квадратичная скорость пылинки, а $m_в$ и $v_в$ — масса и средняя квадратичная скорость молекулы воздуха. Условие теплового равновесия записывается как: $ \bar{E}_п = \bar{E}_в $ $ \frac{m_п v_п^2}{2} = \frac{m_в v_в^2}{2} $

Упростив выражение, получаем: $ m_п v_п^2 = m_в v_в^2 $

Вопрос задачи "во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки меньше средней квадратичной скорости движения молекул воздуха" означает, что нам нужно найти отношение $\frac{v_в}{v_п}$. Выразим это отношение из предыдущего равенства: $ \frac{v_в^2}{v_п^2} = \frac{m_п}{m_в} \implies \frac{v_в}{v_п} = \sqrt{\frac{m_п}{m_в}} $

Для расчета нам необходима масса одной молекулы воздуха. Мы можем найти ее, используя молярную массу воздуха $M_в$ и постоянную Авогадро $N_A$: $ m_в = \frac{M_в}{N_A} $ $ m_в = \frac{29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 4.816 \cdot 10^{-26} \text{ кг} $

Теперь подставим числовые значения в формулу для отношения скоростей: $ \frac{v_в}{v_п} = \sqrt{\frac{1.75 \cdot 10^{-12} \text{ кг}}{4.816 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1.75}{4.816} \cdot 10^{14}} \approx \sqrt{0.3634 \cdot 10^{14}} $ $ \frac{v_в}{v_п} \approx \sqrt{36.34 \cdot 10^{12}} = \sqrt{36.34} \cdot \sqrt{10^{12}} \approx 6.03 \cdot 10^6 $

Таким образом, средняя квадратичная скорость пылинки примерно в $6.03$ миллиона раз меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха.

Ответ: средняя квадратичная скорость пылинки меньше средней квадратичной скорости движения молекул воздуха в $6.03 \cdot 10^6$ раз.