Номер 524, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

524. Открытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной 60 см опускают в сосуд с ртутью на $1/3$ длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают её из ртути. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление 76 см рт. ст.

Дано:

Длина трубки, $L = 60$ см
Глубина погружения трубки = $1/3$ от $L$
Атмосферное давление, $P_a = 76$ см рт. ст.

$L = 0.6$ м
$P_a = 76$ см рт. ст. $= 0.76$ м рт. ст. $\approx 101325$ Па

Найти:

Длину столбика ртути, оставшегося в трубке, $x - ?$

Решение:

Будем решать задачу, используя в качестве единиц измерения сантиметры (см) для длины и сантиметры ртутного столба (см рт. ст.) для давления, так как это упрощает вычисления.

1. Начальное состояние. Когда открытую трубку опускают в ртуть на $1/3$ ее длины, часть трубки, равная $L/3 = 60/3 = 20$ см, оказывается под уровнем ртути. Над уровнем ртути остается часть трубки длиной $L_1 = L - L/3 = 60 - 20 = 40$ см. Поскольку трубка открыта, воздух в ней находится под атмосферным давлением. Когда верхний конец трубки закрывают, мы "захватываем" столб воздуха длиной $L_1 = 40$ см при давлении $P_1 = P_a = 76$ см рт. ст. Объем этого воздуха равен $V_1 = S \cdot L_1$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки.

2. Конечное состояние. После того как трубку вынимают из сосуда, внутри нее остается столбик ртути высотой $x$. Над ртутью находится тот же самый воздух, который теперь занимает объем $V_2$. Длина столба воздуха стала $L_2 = L - x = 60 - x$. Соответственно, объем воздуха стал $V_2 = S \cdot L_2 = S \cdot (60 - x)$.

Давление $P_2$ этого воздуха можно найти из условия равновесия. Снаружи на поверхность ртути в трубке действует атмосферное давление $P_a$. Оно уравновешивается давлением воздуха внутри трубки $P_2$ и давлением столбика ртути высотой $x$. Давление столбика ртути высотой $x$ равно $x$ см рт. ст.

Таким образом, $P_a = P_2 + x$.

Отсюда давление воздуха в конечном состоянии: $P_2 = P_a - x = 76 - x$ (в см рт. ст.).

3. Применим закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса (считаем, что температура воздуха не изменилась): $P_1 V_1 = P_2 V_2$.

Подставим выражения для давлений и объемов:

$P_1 \cdot (S \cdot L_1) = P_2 \cdot (S \cdot L_2)$

Площадь $S$ сокращается:

$P_1 \cdot L_1 = P_2 \cdot L_2$

Подставим числовые значения и выражения:

$76 \cdot 40 = (76 - x) \cdot (60 - x)$

$3040 = 76 \cdot 60 - 76x - 60x + x^2$

$3040 = 4560 - 136x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 136x + 4560 - 3040 = 0$

$x^2 - 136x + 1520 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-136)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1520 = 18496 - 6080 = 12416$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{136 \pm \sqrt{12416}}{2}$

Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{12416} \approx 111.43$.

Найдем два корня уравнения:

$x_1 = \frac{136 + 111.43}{2} = \frac{247.43}{2} \approx 123.7$ см.

$x_2 = \frac{136 - 111.43}{2} = \frac{24.57}{2} \approx 12.3$ см.

Первый корень $x_1 \approx 123.7$ см является физически невозможным, так как длина столбика ртути не может быть больше длины всей трубки (60 см). Следовательно, правильным решением является второй корень.

Ответ:

Длина столбика ртути, который останется в трубке, составляет приблизительно $12.3$ см.