Страница 89 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

682. С какой силой взаимодействуют два заряда² по 10 нКл, находящиеся на расстоянии 3 см друг от друга?

Дано:

$q_1 = q_2 = 10 \text{ нКл} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 10^{-8} \text{ Кл}$

$r = 3 \text{ см} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$F$

Решение:

Для определения силы взаимодействия между двумя точечными зарядами воспользуемся законом Кулона. Формула закона Кулона имеет вид:

$F = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности, $q_1$ и $q_2$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними.

Поскольку в условии задачи даны два одинаковых заряда, $q_1 = q_2 = q$, формулу можно упростить:

$F = k \frac{q^2}{r^2}$

Подставим в формулу значения величин, предварительно переведенные в систему СИ:

$F = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{(10^{-8} \text{ Кл})^2}{(3 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2}$

Выполним вычисления:

$F = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-16} \text{ Кл}^2}{9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-16}}{9 \cdot 10^{-4}} \text{ Н}$

Сократим 9 в числителе и знаменателе и произведем действия со степенями:

$F = \frac{10^{9-16}}{10^{-4}} \text{ Н} = \frac{10^{-7}}{10^{-4}} \text{ Н} = 10^{-7 - (-4)} \text{ Н} = 10^{-3} \text{ Н}$

Полученное значение можно также записать как 1 мН. Так как оба заряда имеют одинаковый знак (подразумевается, что они положительные), то они отталкиваются друг от друга.

Ответ: сила взаимодействия равна $10^{-3}$ Н.

то шли, находящиеся на расстоянии 3 см друг от друга.

683. На каком расстоянии друг от друга заряды $1 \text{ мкКл}$ и $10 \text{ нКл}$ взаимодействуют с силой $9 \text{ мН}$?

Дано:

Найти:

Решение:

Для определения расстояния между зарядами воспользуемся законом Кулона. Закон Кулона описывает силу электростатического взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами:

$F = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$

где $F$ — это модуль силы взаимодействия, $k$ — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Кулона, $q_1$ и $q_2$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними.

Из этой формулы необходимо выразить искомое расстояние $r$:

$r^2 = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{F}$

$r = \sqrt{k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{F}}$

Теперь подставим в полученную формулу числовые значения всех величин в системе СИ:

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (1 \cdot 10^{-8} \text{ Кл})}{9 \cdot 10^{-3} \text{ Н}}}$

Произведем вычисления:

$r = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^{9-6-8}}{9 \cdot 10^{-3}}} \text{ м} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^{-5}}{9 \cdot 10^{-3}}} \text{ м}$

Сокращаем девятки и вычисляем степень десяти:

$r = \sqrt{1 \cdot 10^{-5 - (-3)}} \text{ м} = \sqrt{10^{-2}} \text{ м}$

Извлекаем квадратный корень:

$r = 10^{-1} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Ответ: расстояние между зарядами должно быть 0.1 м (или 10 см).

684. Во сколько раз надо изменить расстояние между зарядами при увеличении одного из них в 4 раза, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

Дано:

$q'_{1} = 4q_{1}$
$F_{1} = F_{2}$

Найти:

$\frac{r_{2}}{r_{1}}$

Решение:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами описывается законом Кулона: $F = k \frac{|q_{1}q_{2}|}{r^2}$ где $F$ — сила взаимодействия, $k$ — коэффициент пропорциональности, $q_{1}$ и $q_{2}$ — величины зарядов, $r$ — расстояние между зарядами.

Запишем выражение для силы взаимодействия в начальном состоянии: $F_{1} = k \frac{|q_{1}q_{2}|}{r_{1}^2}$

Согласно условию, один из зарядов увеличили в 4 раза. Пусть новый заряд $q'_{1} = 4q_{1}$. Расстояние между зарядами изменилось и стало равным $r_{2}$. Сила взаимодействия в конечном состоянии: $F_{2} = k \frac{|(4q_{1})q_{2}|}{r_{2}^2} = 4k \frac{|q_{1}q_{2}|}{r_{2}^2}$

По условию задачи сила взаимодействия осталась прежней, то есть $F_{1} = F_{2}$. Приравняем полученные выражения: $k \frac{|q_{1}q_{2}|}{r_{1}^2} = 4k \frac{|q_{1}q_{2}|}{r_{2}^2}$

Сократим в уравнении общие множители $k$, $|q_{1}|$ и $|q_{2}|$: $\frac{1}{r_{1}^2} = \frac{4}{r_{2}^2}$

Выразим из этого соотношения $r_{2}^2$: $r_{2}^2 = 4r_{1}^2$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $r_{2}$: $r_{2} = \sqrt{4r_{1}^2} = 2r_{1}$

Это означает, что новое расстояние $r_{2}$ должно быть в два раза больше первоначального расстояния $r_{1}$.

Ответ: расстояние между зарядами необходимо увеличить в 2 раза.

685. Одинаковые шарики массой по $0.2 \text{ г}$ подвешены на нити так, как показано на рисунке 72. Расстояние между шариками $BC = 3 \text{ см}$. Найти силу натяжения нити на участках $AB$ и $BC$, если шарикам сообщили одинаковые по модулю заряды по $10 \text{ нКл}$. Рассмотреть случаи: Рис. 72

а) заряды одноимённые;

б) заряды разноимённые.

Дано:

Масса каждого шарика, $m = 0,2 \text{ г}$

Расстояние между шариками, $r = BC = 3 \text{ см}$

Модуль заряда каждого шарика, $|q| = 10 \text{ нКл}$

Постоянная Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

Силы натяжения нити на участках AB и BC ($T_{AB}$, $T_{BC}$) для двух случаев.

Решение:

Рассмотрим систему из двух шариков, которая находится в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждый шарик (и на всю систему), равна нулю.

Сначала вычислим величину силы тяжести, действующей на один шарик, и модуль силы Кулоновского взаимодействия между шариками.

Сила тяжести, действующая на один шарик:

$P = mg = 2 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 2 \text{ мН}$

Модуль силы Кулона, действующей между шариками:

$F_e = k \frac{|q|^2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{(10^{-8} \text{ Кл})^2}{(3 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-16}}{9 \cdot 10^{-4}} \text{ Н} = 10^{-3} \text{ Н} = 1 \text{ мН}$

Для нахождения силы натяжения верхней нити $T_{AB}$ рассмотрим равновесие системы из двух шариков (B и C) как единого целого. Внешними силами, действующими на эту систему, являются сила тяжести двух шариков ($P_B + P_C = 2P$), направленная вниз, и сила натяжения нити $T_{AB}$, направленная вверх. Кулоновские силы взаимодействия между шариками являются внутренними для этой системы и, согласно третьему закону Ньютона, их сумма равна нулю, поэтому они не влияют на равновесие системы в целом.

Из условия равновесия системы (B+C) следует:

$T_{AB} = P_B + P_C = 2P = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ Н}) = 4 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 4 \text{ мН}$

Сила натяжения верхней нити $T_{AB}$ будет одинаковой в обоих случаях.

Для нахождения силы натяжения нижней нити $T_{BC}$ рассмотрим равновесие нижнего шарика C. На него действуют: сила тяжести $P$ (направлена вниз), сила натяжения нити $T_{BC}$ (направлена вверх) и сила Кулона $F_e$ со стороны шарика B. Направление силы Кулона зависит от знаков зарядов.

a) заряды одноимённые

Если заряды одноимённые, шарики отталкиваются. Следовательно, сила Кулона $F_e$, действующая на шарик C со стороны шарика B, направлена вниз (отталкивает его). Запишем условие равновесия для шарика C, спроецировав силы на вертикальную ось, направленную вверх:

$T_{BC} - P - F_e = 0$

Отсюда находим $T_{BC}$:

$T_{BC} = P + F_e = 2 \text{ мН} + 1 \text{ мН} = 3 \text{ мН}$

Ответ: $T_{AB} = 4 \text{ мН}$, $T_{BC} = 3 \text{ мН}$.

б) заряды разноимённые

Если заряды разноимённые, шарики притягиваются. Следовательно, сила Кулона $F_e$, действующая на шарик C со стороны шарика B, направлена вверх (притягивает его). Запишем условие равновесия для шарика C в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T_{BC} + F_e - P = 0$

Отсюда находим $T_{BC}$:

$T_{BC} = P - F_e = 2 \text{ мН} - 1 \text{ мН} = 1 \text{ мН}$

Ответ: $T_{AB} = 4 \text{ мН}$, $T_{BC} = 1 \text{ мН}$.

686. Два шарика, расположенные на расстоянии 10 см друг от друга, имеют одинаковые отрицательные заряды и взаимодействуют с силой 0,23 мН. Найти число избыточных электронов на каждом шарике.

Дано:

Найти:

$N$ - число избыточных электронов.

Решение:

Два шарика имеют одинаковые отрицательные заряды, поэтому они отталкиваются друг от друга. Сила этого взаимодействия описывается законом Кулона: $F = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$

Поскольку по условию задачи заряды шариков одинаковы ($|q_1| = |q_2| = |q|$), то формула принимает вид: $F = k \frac{q^2}{r^2}$

Из этой формулы выразим модуль заряда $|q|$ каждого шарика: $q^2 = \frac{F \cdot r^2}{k}$ $|q| = \sqrt{\frac{F \cdot r^2}{k}}$

Подставим числовые значения в СИ и произведем расчет: $|q| = \sqrt{\frac{0.23 \cdot 10^{-3} \text{ Н} \cdot (0.1 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}}} = \sqrt{\frac{0.23 \cdot 10^{-3} \cdot 0.01}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл} = \sqrt{\frac{2.3 \cdot 10^{-6}}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл}$ $|q| = \sqrt{\frac{2.3}{9} \cdot 10^{-15}} \text{ Кл} = \sqrt{0.255... \cdot 10^{-15}} \text{ Кл} = \sqrt{2.55... \cdot 10^{-16}} \text{ Кл} \approx 1.6 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Отрицательный заряд на шариках создается избыточным количеством электронов. Общий заряд тела кратен элементарному заряду. Модуль заряда шарика $|q|$ связан с числом избыточных электронов $N$ следующим соотношением: $|q| = N \cdot |e|$

Отсюда найдем искомое число электронов $N$: $N = \frac{|q|}{|e|}$

Подставим вычисленное значение модуля заряда шарика и значение модуля элементарного заряда: $N = \frac{1.6 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = 1 \cdot 10^{11}$

Ответ: число избыточных электронов на каждом шарике равно $1 \cdot 10^{11}$.

687. На нерастяжимой нити висит шарик массой 100 г, имеющий заряд 20 мкКл. Как необходимо зарядить второй шарик, который подносят снизу к первому шарику на расстояние 30 см, чтобы сила натяжения: уменьшилась вдвое; рассмотреть случай невесомости; увеличилась в 4 раза?

Дано:

Масса первого шарика, $m = 100 \text{ г}$

Заряд первого шарика, $q_1 = 20 \text{ мкКл}$

Расстояние между шариками, $r = 30 \text{ см}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Электрическая постоянная, $k \approx 9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

$q_1 = 20 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$r = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Заряд второго шарика $q_2$ для каждого из трех случаев.

Решение:

В начальном состоянии, когда второй шарик отсутствует, на первый шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T_0$, направленная вверх. Из условия равновесия следует, что начальная сила натяжения равна силе тяжести:

$T_0 = mg = 0.1 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.98 \text{ Н}$

Когда снизу подносят второй шарик с зарядом $q_2$, на первый шарик начинает действовать дополнительная сила – сила Кулона $F_e$, направленная по вертикали. Величина этой силы определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Направление силы Кулона зависит от знака заряда $q_2$. Поскольку заряд первого шарика $q_1$ положительный, то:

• Если $q_2$ положительный, шарики отталкиваются, и сила $F_e$ направлена вверх.
• Если $q_2$ отрицательный, шарики притягиваются, и сила $F_e$ направлена вниз.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

уменьшилась вдвое

Новая сила натяжения $T_1$ должна быть вдвое меньше начальной:

$T_1 = \frac{T_0}{2} = \frac{mg}{2}$

Поскольку сила натяжения уменьшилась, сила Кулона должна быть направлена вверх, то есть действовать против силы тяжести. Это означает, что шарики отталкиваются, и заряды $q_1$ и $q_2$ имеют одинаковый знак. Так как $q_1 > 0$, то и $q_2 > 0$.

Условие равновесия для первого шарика в этом случае:

$T_1 + F_e = mg$

Подставим значение $T_1$:

$\frac{mg}{2} + F_e = mg \implies F_e = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$

Теперь приравняем это к выражению для силы Кулона и найдем $q_2$:

$k \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{mg}{2}$

$q_2 = \frac{mg r^2}{2 k q_1}$

Подставим числовые значения:

$q_2 = \frac{0.1 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times (0.3 \text{ м})^2}{2 \times 9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \times 20 \times 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{0.98 \times 0.09}{360 \times 10^3} = \frac{0.0882}{3.6 \times 10^5} \approx 2.45 \times 10^{-7} \text{ Кл}$

В микрокулонах это будет:

$q_2 = 0.245 \times 10^{-6} \text{ Кл} = 0.245 \text{ мкКл}$

Ответ: второй шарик необходимо зарядить положительным зарядом $q_2 = +0.245 \text{ мкКл}$.

рассмотреть случай невесомости

В условиях невесомости сила тяжести отсутствует ($mg = 0$), следовательно, начальная сила натяжения нити также равна нулю ($T_0=0$). Формулировка задачи "уменьшить вдвое" для нулевой силы натяжения не имеет физического смысла. Однако, можно предположить, что требуется найти такой заряд $q_2$, который создаст в нити натяжение, равное по величине конечной силе натяжения из предыдущего пункта ($T = mg/2$).

Чтобы в нити возникло натяжение, сила Кулона должна быть направлена вниз (сила притяжения). Это возможно, если заряды $q_1$ и $q_2$ разноименные. Так как $q_1 > 0$, заряд $q_2$ должен быть отрицательным.

Условие равновесия в невесомости:

$T = F_e$

Примем, что $T = \frac{mg}{2}$. Тогда:

$F_e = \frac{mg}{2}$

$k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{mg}{2}$

$|q_2| = \frac{mg r^2}{2 k q_1}$

Это выражение совпадает с расчетом из предыдущего пункта, следовательно, модуль заряда будет таким же:

$|q_2| \approx 2.45 \times 10^{-7} \text{ Кл} = 0.245 \text{ мкКл}$

Так как заряд должен быть отрицательным, $q_2 = -0.245 \text{ мкКл}$.

Ответ: в условиях невесомости для создания натяжения в нити заряд второго шарика должен быть отрицательным. Если требуется создать натяжение, равное $mg/2$, то заряд должен быть $q_2 = -0.245 \text{ мкКл}$.

увеличилась в 4 раза

Новая сила натяжения $T_2$ должна быть в 4 раза больше начальной:

$T_2 = 4 T_0 = 4mg$

Так как сила натяжения увеличилась, сила Кулона должна быть направлена вниз, то есть действовать в том же направлении, что и сила тяжести. Это означает, что шарики притягиваются, и заряды $q_1$ и $q_2$ имеют противоположные знаки. Так как $q_1 > 0$, то $q_2 < 0$.

Условие равновесия для первого шарика в этом случае:

$T_2 = mg + F_e$

Подставим значение $T_2$:

$4mg = mg + F_e \implies F_e = 4mg - mg = 3mg$

Теперь приравняем это к выражению для силы Кулона и найдем модуль заряда $|q_2|$:

$k \frac{q_1 |q_2|}{r^2} = 3mg$

$|q_2| = \frac{3mg r^2}{k q_1}$

Подставим числовые значения:

$|q_2| = \frac{3 \times 0.1 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times (0.3 \text{ м})^2}{9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \times 20 \times 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{3 \times 0.0882}{1.8 \times 10^5} = \frac{0.2646}{1.8 \times 10^5} \approx 1.47 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

В микрокулонах это будет:

$|q_2| = 1.47 \text{ мкКл}$

Поскольку заряд должен быть отрицательным, $q_2 = -1.47 \text{ мкКл}$.

Ответ: второй шарик необходимо зарядить отрицательным зарядом $q_2 = -1.47 \text{ мкКл}$.