Страница 95 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

731. Положительно заряженный шарик массой 0,18 г и плотностью вещества $1800 \text{ кг/м}^3$ находится в равновесии в жидком диэлектрике. В диэлектрике создано однородное электрическое поле, напряжённость которого равна по модулю $45 \text{ кВ/м}$ и направлена вертикально вверх. Плотность диэлектрика $900 \text{ кг/м}^3$. Найти заряд шарика.

Дано:

Масса шарика $m = 0,18$ г
Плотность вещества шарика $\rho_ш = 1800$ кг/м³
Плотность диэлектрика $\rho_ж = 900$ кг/м³
Напряженность электрического поля $E = 45$ кВ/м
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

$m = 0,18 \cdot 10^{-3}$ кг
$E = 45 \cdot 10^3$ В/м

Найти:

Заряд шарика $q - ?$

Решение:

По условию задачи, шарик находится в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На шарик действуют три силы, направленные вдоль вертикальной оси:

1. Сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая сила (сила Архимеда) $\vec{F_A}$, направленная вертикально вверх.
3. Электрическая сила $\vec{F_E}$, действующая со стороны электрического поля. Так как шарик заряжен положительно, а поле направлено вверх, эта сила также направлена вертикально вверх.

Условие равновесия в векторной форме: $\vec{F_g} + \vec{F_A} + \vec{F_E} = 0$

Спроецируем силы на вертикальную ось OY, направленную вверх. Уравнение равновесия в скалярной форме примет вид: $F_A + F_E - F_g = 0$

Расшифруем каждую силу:

• Сила тяжести: $F_g = mg$
• Электрическая сила: $F_E = qE$
• Сила Архимеда: $F_A = \rho_ж g V$, где $V$ — объем шарика.

Объем шарика можно выразить через его массу $m$ и плотность $\rho_ш$: $V = \frac{m}{\rho_ш}$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия: $\rho_ж g \frac{m}{\rho_ш} + qE - mg = 0$

Выразим из этого уравнения искомый заряд $q$: $qE = mg - \rho_ж g \frac{m}{\rho_ш}$ $qE = mg \left(1 - \frac{\rho_ж}{\rho_ш}\right)$ $q = \frac{mg}{E}\left(1 - \frac{\rho_ж}{\rho_ш}\right)$

Подставим числовые значения в систему СИ: $q = \frac{0,18 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{45 \cdot 10^3 \text{ В/м}} \left(1 - \frac{900 \text{ кг/м}^3}{1800 \text{ кг/м}^3}\right)$ $q = \frac{1,8 \cdot 10^{-3}}{45 \cdot 10^3} \left(1 - 0,5\right) \text{ Кл}$ $q = \frac{1,8 \cdot 10^{-3}}{45 \cdot 10^3} \cdot 0,5 \text{ Кл}$ $q = \frac{0,9 \cdot 10^{-3}}{45 \cdot 10^3} \text{ Кл} = 0,02 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$ $q = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 20 \text{ нКл}$

Ответ: заряд шарика равен $20 \text{ нКл}$.

732. Какую работу совершает электрическое поле при перемещении заряда $20 \text{ нКл}$ из точки с потенциалом $700 \text{ В}$ в точку с потенциалом $200 \text{ В}$; из точки с потенциалом $-100 \text{ В}$ в точку с потенциалом $400 \text{ В}$?

Дано:

Найти:

Решение:

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда $q$ из точки с начальным потенциалом $\phi_{нач}$ в точку с конечным потенциалом $\phi_{кон}$, вычисляется по формуле:

$A = q(\phi_{нач} - \phi_{кон})$

из точки с потенциалом 700 В в точку с потенциалом 200 В

Для первого случая начальный потенциал $\phi_{нач} = \phi_1 = 700 \text{ В}$, а конечный потенциал $\phi_{кон} = \phi_2 = 200 \text{ В}$.

Подставим значения в формулу:

$A_1 = (2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}) \cdot (700 \text{ В} - 200 \text{ В}) = (2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}) \cdot (500 \text{ В})$

$A_1 = 1000 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} = 1 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: $1 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$.

из точки с потенциалом –100 В в точку с потенциалом 400 В

Для второго случая начальный потенциал $\phi_{нач} = \phi_3 = -100 \text{ В}$, а конечный потенциал $\phi_{кон} = \phi_4 = 400 \text{ В}$.

Подставим значения в формулу:

$A_2 = (2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}) \cdot (-100 \text{ В} - 400 \text{ В}) = (2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}) \cdot (-500 \text{ В})$

$A_2 = -1000 \cdot 10^{-8} \text{ Дж} = -1 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: $-1 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$.

733. В однородном электрическом поле напряжённостью 1 кВ/м переместили заряд -25 нКл в направлении силовой линии на 2 см. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии заряда и напряжение между начальной и конечной точками перемещения.

Дано:
Напряжённость однородного электрического поля $E = 1 \text{ кВ/м}$
Электрический заряд $q = -25 \text{ нКл}$
Перемещение $d = 2 \text{ см}$
Заряд перемещается в направлении силовой линии.

Перевод в систему СИ:
$E = 1 \cdot 10^3 \text{ В/м}$
$q = -25 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$d = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Найти:
Работу поля $A$
Изменение потенциальной энергии заряда $\Delta W_p$
Напряжение между начальной и конечной точками $U$

Решение:

работу поля
Работа, совершаемая силами однородного электрического поля при перемещении заряда, вычисляется по формуле:
$A = qEd\cos\alpha$
где $q$ — величина заряда, $E$ — напряженность поля, $d$ — модуль перемещения, а $\alpha$ — угол между вектором напряженности поля $\vec{E}$ и вектором перемещения $\vec{d}$.
Согласно условию задачи, заряд перемещается "в направлении силовой линии". Это означает, что вектор перемещения $\vec{d}$ сонаправлен вектору напряженности $\vec{E}$, следовательно, угол $\alpha$ между ними равен $0^\circ$, и $\cos(0^\circ) = 1$.
Подставим числовые значения в формулу, учитывая знак заряда:
$A = (-25 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (1 \cdot 10^3 \text{ В/м}) \cdot (0.02 \text{ м})$
$A = -0.5 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$
Работа поля отрицательна. Это объясняется тем, что на отрицательный заряд со стороны поля действует сила, направленная против вектора напряженности, в то время как перемещение происходит по направлению вектора напряженности. Таким образом, поле совершает отрицательную работу.

Ответ: работа поля равна $-0.5 \text{ мкДж}$.

изменение потенциальной энергии заряда
Работа электростатического поля равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком. Эта связь выражается формулой:
$A = -\Delta W_p$
Следовательно, изменение потенциальной энергии можно найти как:
$\Delta W_p = -A$
Используя найденное ранее значение работы поля $A$:
$\Delta W_p = -(-0.5 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}) = 0.5 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$
Потенциальная энергия заряда увеличилась, что соответствует перемещению отрицательного заряда против силы, действующей на него со стороны поля.

Ответ: изменение потенциальной энергии заряда составляет $0.5 \text{ мкДж}$.

напряжение между начальной и конечной точками перемещения
Напряжение (или разность потенциалов $U = \varphi_1 - \varphi_2$) между начальной (1) и конечной (2) точками в однородном электрическом поле определяется формулой:
$U = Ed_{\parallel}$
где $d_{\parallel}$ — проекция перемещения на направление силовой линии. В данном случае перемещение происходит вдоль силовой линии, поэтому $d_{\parallel} = d$.
$U = E \cdot d$
Выполним расчет:
$U = (1 \cdot 10^3 \text{ В/м}) \cdot (0.02 \text{ м}) = 20 \text{ В}$
Проверим этот результат, используя формулу, связывающую работу и напряжение: $A = qU$.
$U = \frac{A}{q} = \frac{-0.5 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{-25 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}} = \frac{0.5}{25} \cdot 10^3 \text{ В} = 0.02 \cdot 1000 \text{ В} = 20 \text{ В}$
Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: напряжение между начальной и конечной точками перемещения равно $20 \text{ В}$.

734. При перемещении заряда между точками с разностью потенциалов $1 \text{ кВ}$ электрическое поле совершило работу $40 \text{ мкДж}$. Чему равен заряд?

Дано:

Разность потенциалов $U = 1 \text{ кВ} = 1 \cdot 10^3 \text{ В}$

Работа электрического поля $A = 40 \text{ мкДж} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$

Найти:

Заряд $q$

Решение:

Работа $A$, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда $q$ между двумя точками, связана с разностью потенциалов $U$ между этими точками соотношением:

$A = q \cdot U$

Из этой формулы можно выразить величину заряда $q$:

$q = \frac{A}{U}$

Подставим данные из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$q = \frac{40 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{1 \cdot 10^3 \text{ В}} = 40 \cdot 10^{-6-3} \text{ Кл} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Приставка $10^{-9}$ обозначается как "нано" (н). Таким образом, заряд равен 40 нанокулон.

$q = 40 \text{ нКл}$

Ответ: заряд равен $40 \text{ нКл}$.

735. В однородном электрическом поле напряжённостью 60 кВ/м переместили заряд 5 нКл. Перемещение, равное по модулю 20 см, образует угол 60° с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения. Дать ответы на те же вопросы для случая перемещения отрицательного заряда.

Дано:

Найти:

Решение:

Работа поля

Работа, совершаемая силами однородного электрического поля при перемещении заряда, вычисляется по формуле: $A = qEd \cos\alpha$, где $q$ – величина заряда, $E$ – напряженность поля, $d$ – модуль перемещения, $\alpha$ – угол между направлением поля и перемещением.

Для положительного заряда ($q_1 = 5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$):

$A_1 = (5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (6 \cdot 10^4 \text{ В/м}) \cdot (0.2 \text{ м}) \cdot \cos(60^\circ)$

Зная, что $\cos(60^\circ) = 0.5$:

$A_1 = 5 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^4 \cdot 0.2 \cdot 0.5 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: для положительного заряда работа поля равна $3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ (или $30 \text{ мкДж}$).

Для отрицательного заряда ($q_2 = -5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$):

$A_2 = (-5 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (6 \cdot 10^4 \text{ В/м}) \cdot (0.2 \text{ м}) \cdot \cos(60^\circ) = -3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: для отрицательного заряда работа поля равна $-3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ (или $-30 \text{ мкДж}$).

Изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля

Работа электростатического поля равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком: $\Delta W_p = -A$.

Для положительного заряда:

$\Delta W_{p1} = -A_1 = -3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: для положительного заряда изменение потенциальной энергии составляет $-3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ (или $-30 \text{ мкДж}$).

Для отрицательного заряда:

$\Delta W_{p2} = -A_2 = -(-3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}) = 3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Ответ: для отрицательного заряда изменение потенциальной энергии составляет $3 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$ (или $30 \text{ мкДж}$).

Напряжение между начальной и конечной точками перемещения

Напряжение (разность потенциалов) между двумя точками в поле не зависит от знака или величины переносимого заряда, а определяется только характеристиками самого поля и положением точек. Его можно найти по формуле $U = Ed_E$, где $d_E$ - проекция перемещения на направление поля.

$d_E = d \cos\alpha$

$U = E d \cos\alpha = (6 \cdot 10^4 \text{ В/м}) \cdot (0.2 \text{ м}) \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot 10^4 \cdot 0.2 \cdot 0.5 = 6000 \text{ В} = 6 \text{ кВ}$

Напряжение одинаково для обоих случаев, так как начальная и конечная точки перемещения совпадают.

Ответ: напряжение между начальной и конечной точками перемещения равно $6 \text{ кВ}$.

736. Электрон переместился в ускоряющем электрическом поле из точки с потенциалом 200 В в точку с потенциалом 300 В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение его потенциальной энергии и приобретённую скорость. Начальную скорость электрона считать равной нулю.

Дано:

Потенциал в начальной точке, $ \phi_1 = 200 \text{ В} $
Потенциал в конечной точке, $ \phi_2 = 300 \text{ В} $
Начальная скорость электрона, $ v_1 = 0 \text{ м/с} $
Заряд электрона, $ q = -e \approx -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} $
Масса электрона, $ m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} $

Найти:

Кинетическую энергию электрона - $ E_k $
Изменение его потенциальной энергии - $ \Delta E_p $
Приобретённую скорость - $ v_2 $

Решение:

изменение его потенциальной энергии

Изменение потенциальной энергии $ \Delta E_p $ заряда $ q $ при его перемещении из точки с потенциалом $ \phi_1 $ в точку с потенциалом $ \phi_2 $ определяется по формуле:

$ \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = q\phi_2 - q\phi_1 = q(\phi_2 - \phi_1) $

Подставим известные значения:

$ \Delta E_p = (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (300 \text{ В} - 200 \text{ В}) = (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (100 \text{ В}) = -1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} $

Потенциальная энергия электрона уменьшилась, так как он, будучи отрицательно заряженной частицей, перемещался в сторону увеличения потенциала (в ускоряющем поле).

Ответ: изменение потенциальной энергии электрона равно $ -1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} $.

кинетическую энергию электрона

Для нахождения кинетической энергии воспользуемся законом сохранения энергии для электрона в электрическом поле. Сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной:

$ E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} $

Отсюда изменение кинетической энергии равно изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

$ \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -\Delta E_p $

Так как по условию начальная скорость электрона равна нулю ($ v_1 = 0 $), его начальная кинетическая энергия $ E_{k1} = 0 $. Тогда конечная кинетическая энергия $ E_k = E_{k2} $.

$ E_k = -\Delta E_p = -(-1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}) = 1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} $

Также можно найти кинетическую энергию через работу поля $ A $. По теореме о кинетической энергии $ \Delta E_k = A $. Работа поля $ A = q(\phi_1 - \phi_2) $.

$ E_k = (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (200 \text{ В} - 300 \text{ В}) = (-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (-100 \text{ В}) = 1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} $

Ответ: приобретённая кинетическая энергия электрона равна $ 1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж} $.

приобретённую скорость

Приобретённую скорость электрона $ v_2 $ можно найти из формулы для кинетической энергии:

$ E_k = \frac{m_e v_2^2}{2} $

Выразим из этой формулы скорость:

$ v_2 = \sqrt{\frac{2 E_k}{m_e}} $

Подставим значения кинетической энергии и массы электрона:

$ v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot (1.6 \cdot 10^{-17} \text{ Дж})}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{3.2 \cdot 10^{-17}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \approx \sqrt{0.351 \cdot 10^{14}} \approx 5.93 \cdot 10^6 \text{ м/с} $

Ответ: приобретённая скорость электрона равна примерно $ 5.93 \cdot 10^6 \text{ м/с} $.