Страница 97 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

746. Сравнить значения работы поля при перемещении заряда из точки $A$ в точки $B$, $C$, $D$ (рис. 77).

Рис. 77

Решение

Работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением заряда. Она равна произведению величины перемещаемого заряда $q$ на разность потенциалов между начальной и конечной точками.

$A = q(\varphi_{нач} - \varphi_{кон})$

На рисунке показано электростатическое поле, созданное положительным точечным зарядом (+). Линии, представляющие собой концентрические окружности, являются эквипотенциальными линиями, то есть линиями равного потенциала.

Во всех случаях заряд перемещается из одной и той же начальной точки А, которая находится на внешней эквипотенциальной линии с потенциалом $\varphi_A$.

Конечные точки B, C и D лежат на одной и той же внутренней эквипотенциальной линии. Это означает, что потенциалы в этих точках равны:

$\varphi_B = \varphi_C = \varphi_D$

Рассчитаем работу поля для каждого из трех перемещений:

1. Работа при перемещении из точки А в точку B:

$A_{AB} = q(\varphi_A - \varphi_B)$

2. Работа при перемещении из точки А в точку C:

$A_{AC} = q(\varphi_A - \varphi_C)$

3. Работа при перемещении из точки А в точку D:

$A_{AD} = q(\varphi_A - \varphi_D)$

Так как начальный потенциал $\varphi_A$ один и тот же для всех трех случаев, и конечные потенциалы равны ($\varphi_B = \varphi_C = \varphi_D$), то разность потенциалов для всех трех перемещений одинакова. Следовательно, и работа, совершаемая полем, будет одинаковой во всех трех случаях.

$A_{AB} = A_{AC} = A_{AD}$

Ответ: Значения работы поля при перемещении заряда из точки А в точки B, C и D равны.

747. На рисунке 78 показаны силовые линии электростатического поля и две эквипотенциальные поверхности (A и B). В какой точке, C или D, больше напряжённость поля; потенциал?

Рис. 78

Напряжённость поля

Напряжённость электростатического поля ($E$) графически определяется густотой силовых линий. В той области, где силовые линии расположены ближе друг к другу (гуще), модуль напряжённости поля выше. На рисунке 78 видно, что в точке C силовые линии расположены гуще, чем в точке D. Это означает, что напряжённость поля в точке C больше, чем в точке D ($E_C > E_D$).

Ответ: напряжённость поля больше в точке C.

Потенциал

Вектор напряжённости электростатического поля всегда направлен в сторону уменьшения потенциала ($\phi$). На рисунке силовая линия, проходящая через точки C и D, направлена от D к C. Следовательно, потенциал в точке D выше, чем потенциал в точке C ($\phi_D > \phi_C$). Кроме того, A и B — это эквипотенциальные поверхности. Точка D лежит на поверхности A, а точка C — на поверхности B. Поскольку поле направлено от поверхности A к поверхности B, потенциал поверхности A выше потенциала поверхности B ($\phi_A > \phi_B$).

Ответ: потенциал больше в точке D.

748. На рисунке 79, а показано расположение трёх заряженных пластин и их потенциалы. Начертить линии напряжённости электрического поля. Построить графики зависимости напряжённости (рис. 79, б) и распределения потенциала (рис. 79, в) от координаты x.

Дано:

Три параллельные бесконечные заряженные пластины.
Координата пластины 1: $x_1 = 0$, потенциал $φ_1 = φ_0$.
Координата пластины 2: $x_2 = d$, потенциал $φ_2 = 0$.
Координата пластины 3: $x_3 = 3d$, потенциал $φ_3 = φ_0$.

Найти:

1. Картину линий напряжённости электрического поля.
2. График зависимости напряжённости поля $E$ от координаты $x$, $E(x)$.
3. График распределения потенциала $φ$ от координаты $x$, $φ(x)$.

Решение:

Будем считать, что поле существует только в пространстве между пластинами, а за пределами крайних пластин поле равно нулю. Электрическое поле между двумя параллельными пластинами является однородным. Проекция вектора напряжённости электрического поля на ось $x$ связана с потенциалом соотношением: $E_x = -\frac{dφ}{dx}$. Для однородного поля эту формулу можно записать в виде $E_x = -\frac{Δφ}{Δx}$, где $Δφ$ — разность потенциалов, а $Δx$ — расстояние между точками.

Разобьём пространство на области и найдём напряжённость поля в каждой из них.
В области I ($0 < x < d$): $E_1 = -\frac{φ_2 - φ_1}{x_2 - x_1} = -\frac{0 - φ_0}{d - 0} = \frac{φ_0}{d}$. Поскольку $E_1 > 0$ (при условии $φ_0 > 0$), вектор напряжённости направлен вправо, вдоль оси $x$.

В области II ($d < x < 3d$): $E_2 = -\frac{φ_3 - φ_2}{x_3 - x_2} = -\frac{φ_0 - 0}{3d - d} = -\frac{φ_0}{2d}$. Поскольку $E_2 < 0$, вектор напряжённости направлен влево, против оси $x$.

Вне пластин ($x < 0$ и $x > 3d$) поле отсутствует, $E=0$.

Начертить линии напряжённости электрического поля

Линии напряжённости электрического поля — это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряжённости $\vec{E}$. Они направлены от большего потенциала к меньшему. В области I ($0 < x < d$) потенциал убывает от $φ_0$ до 0, поэтому линии напряжённости направлены от левой пластины к центральной (вправо). В области II ($d < x < 3d$) потенциал возрастает от 0 до $φ_0$, поэтому линии напряжённости направлены от правой пластины к центральной (влево). Густота линий напряжённости пропорциональна модулю напряжённости поля. Так как $|E_1| = \frac{φ_0}{d}$ и $|E_2| = \frac{φ_0}{2d}$, то $|E_1| = 2|E_2|$. Это означает, что в области I линии напряжённости должны быть в два раза гуще, чем в области II. Вне пластин поле равно нулю, линий напряжённости нет.

Ответ: В области между первой и второй пластинами ($0 < x < d$) линии напряжённости представляют собой параллельные прямые, направленные вправо. В области между второй и третьей пластинами ($d < x < 3d$) линии напряжённости — параллельные прямые, направленные влево. Густота линий в первой области вдвое больше, чем во второй. За пределами крайних пластин поле отсутствует.

Построить графики зависимости напряжённости (рис. 79, б)

График зависимости проекции напряжённости $E_x$ от координаты $x$ будет состоять из горизонтальных участков, так как в каждой из областей поле однородно.
- При $x < 0$, $E_x = 0$.
- При $0 < x < d$, $E_x = E_1 = \frac{φ_0}{d}$.
- При $d < x < 3d$, $E_x = E_2 = -\frac{φ_0}{2d}$.
- При $x > 3d$, $E_x = 0$.
В точках $x=0$, $x=d$ и $x=3d$ напряжённость испытывает скачки.

Ответ: График $E(x)$ имеет вид ступенчатой функции. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(3d, +\infty)$ график совпадает с осью абсцисс ($E=0$). На интервале $(0, d)$ график представляет собой горизонтальную прямую на уровне $E = φ_0/d$. На интервале $(d, 3d)$ график — горизонтальная прямая на уровне $E = -φ_0/(2d)$. В точках $x=0, d, 3d$ функция имеет разрывы.

и распределения потенциала (рис. 79, в) от координаты x

Потенциал $φ(x)$ является непрерывной функцией. Его можно найти, зная, что $E_x = -dφ/dx$, то есть наклон графика $φ(x)$ равен $-E_x$.
- При $x \le 0$: $E_x = 0$, следовательно, $φ(x)$ — константа. Так как $φ(0) = φ_1 = φ_0$, то $φ(x) = φ_0$.
- При $0 < x < d$: $E_x = \frac{φ_0}{d}$, наклон графика $φ(x)$ равен $-\frac{φ_0}{d}$. Потенциал линейно убывает от $φ(0)=φ_0$ до $φ(d) = φ(0) - E_1 \cdot d = φ_0 - \frac{φ_0}{d} \cdot d = 0$.
- При $d < x < 3d$: $E_x = -\frac{φ_0}{2d}$, наклон графика $φ(x)$ равен $-(-\frac{φ_0}{2d}) = \frac{φ_0}{2d}$. Потенциал линейно возрастает от $φ(d)=0$ до $φ(3d) = φ(d) - E_2 \cdot (3d-d) = 0 - (-\frac{φ_0}{2d}) \cdot 2d = φ_0$.
- При $x \ge 3d$: $E_x = 0$, следовательно, $φ(x)$ — константа. Так как $φ(3d) = φ_3 = φ_0$, то $φ(x) = φ_0$.

Ответ: График $φ(x)$ представляет собой ломаную линию. На луче $(-\infty, 0]$ — горизонтальная прямая $φ = φ_0$. На отрезке $[0, d]$ — прямая, соединяющая точки $(0, φ_0)$ и $(d, 0)$. На отрезке $[d, 3d]$ — прямая, соединяющая точки $(d, 0)$ и $(3d, φ_0)$. На луче $[3d, +\infty)$ — горизонтальная прямая $φ = φ_0$.

749. На пластинах A и B, расположенных параллельно на расстоянии 8 см друг от друга, поддерживаются потенциалы +60 и -60 В соответственно. Между ними поместили заземлённую пластину С на расстоянии 2 см от пластины А. На сколько изменилась напряжённость поля на участках АС и СВ? Построить графики зависимостей $\varphi(x)$ и $E_x(x)$, расположив ось X так же, как в предыдущей задаче.

Дано:

Расстояние между пластинами A и B: $d_{AB} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Потенциал пластины A: $\phi_A = +60 \text{ В}$

Потенциал пластины B: $\phi_B = -60 \text{ В}$

Расстояние от пластины A до пластины C: $d_{AC} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Потенциал пластины C (заземлена): $\phi_C = 0 \text{ В}$

Найти:

Изменение напряженности поля на участках AC и CB: $\Delta E_{AC}, \Delta E_{CB} - ?$

Графики зависимостей $\phi(x)$ и $E_x(x)$.

Решение:

Расположим ось X перпендикулярно пластинам, направив ее от пластины A (в точке $x=0$) к пластине B (в точке $x=d_{AB}$). В такой системе координат проекция напряженности электрического поля на ось X связана с потенциалом соотношением $E_x = -\frac{d\phi}{dx}$. Для однородного поля это выражение принимает вид $E_x = \frac{\phi_1 - \phi_2}{d}$, где $d$ — расстояние между точками с потенциалами $\phi_1$ и $\phi_2$.

1. Начальное состояние (до внесения пластины C)

Между пластинами A и B существует однородное электрическое поле. Его напряженность $E_{\text{исх}}$ постоянна во всем пространстве между пластинами.

$E_{\text{исх}} = \frac{\phi_A - \phi_B}{d_{AB}} = \frac{60 \text{ В} - (-60 \text{ В})}{0.08 \text{ м}} = \frac{120 \text{ В}}{0.08 \text{ м}} = 1500 \text{ В/м}$

2. Конечное состояние (после внесения пластины C)

Заземленная пластина C делит пространство на два участка (AC и CB), в каждом из которых поле однородно, но имеет разную напряженность.

Напряженность поля на участке AC:

$E_{AC} = \frac{\phi_A - \phi_C}{d_{AC}} = \frac{60 \text{ В} - 0 \text{ В}}{0.02 \text{ м}} = 3000 \text{ В/м}$

Расстояние между пластинами C и B: $d_{CB} = d_{AB} - d_{AC} = 0.08 \text{ м} - 0.02 \text{ м} = 0.06 \text{ м}$.

Напряженность поля на участке CB:

$E_{CB} = \frac{\phi_C - \phi_B}{d_{CB}} = \frac{0 \text{ В} - (-60 \text{ В})}{0.06 \text{ м}} = \frac{60 \text{ В}}{0.06 \text{ м}} = 1000 \text{ В/м}$

На сколько изменилась напряжённость поля на участках АС и СВ?

Изменение напряженности — это разница между конечным и начальным значениями напряженности на каждом участке.

Для участка AC:

$\Delta E_{AC} = E_{AC} - E_{\text{исх}} = 3000 \text{ В/м} - 1500 \text{ В/м} = 1500 \text{ В/м}$

Для участка CB:

$\Delta E_{CB} = E_{CB} - E_{\text{исх}} = 1000 \text{ В/м} - 1500 \text{ В/м} = -500 \text{ В/м}$

Ответ: На участке АС напряженность поля увеличилась на 1500 В/м. На участке СВ напряженность поля уменьшилась на 500 В/м.

Построить графики зависимостей φ(x) и E_x(x)

График зависимости потенциала $\phi(x)$

Потенциал изменяется линейно с координатой $x$.

• На участке AC ($0 \le x \le 0.02$ м): потенциал линейно убывает от $\phi(0) = 60$ В до $\phi(0.02) = 0$ В. График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (0 м; 60 В) и (0.02 м; 0 В).
• На участке CB ($0.02 \le x \le 0.08$ м): потенциал линейно убывает от $\phi(0.02) = 0$ В до $\phi(0.08) = -60$ В. График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (0.02 м; 0 В) и (0.08 м; -60 В).

График зависимости проекции напряженности $E_x(x)$

Проекция напряженности на ось X ($E_x$) постоянна на каждом из участков.

• На участке AC ($0 < x < 0.02$ м): $E_x = E_{AC} = 3000$ В/м. График — горизонтальная линия на уровне 3000 В/м.
• На участке CB ($0.02 < x < 0.08$ м): $E_x = E_{CB} = 1000$ В/м. График — горизонтальная линия на уровне 1000 В/м.

График $E_x(x)$ имеет вид ступенчатой функции с разрывом при $x=0.02$ м.

Ответ: Графики представляют собой: для $\phi(x)$ — ломаную линию, проходящую через точки (0; 60), (0.02; 0) и (0.08; -60) с координатами (x, м; $\phi$, В); для $E_x(x)$ — ступенчатую функцию, равную 3000 В/м на интервале ($0; 0.02$ м) и 1000 В/м на интервале ($0.02; 0.08$ м).

750. Площадь каждой пластины плоского конденсатора 401 см2. Заряд пластин 1,42 мкКл. Найти напряжённость поля между пластинами.

Рис. 79

Дано:

Площадь каждой пластины, $S = 401 \text{ см}^2$

Заряд пластин, $q = 1,42 \text{ мкКл}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$S = 401 \text{ см}^2 = 401 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 401 \times 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,0401 \text{ м}^2$

$q = 1,42 \text{ мкКл} = 1,42 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

Напряжённость поля между пластинами, $E$

Решение:

Напряжённость электрического поля $E$ между пластинами плоского конденсатора, диэлектриком в котором является вакуум (или воздух), определяется по формуле:

$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$

где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда на пластинах, а $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, значение которой составляет $\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}}$.

Поверхностная плотность заряда $\sigma$ равна отношению заряда $q$ одной из пластин к её площади $S$:

$\sigma = \frac{q}{S}$

Подставим выражение для поверхностной плотности в формулу напряжённости поля:

$E = \frac{q}{\epsilon_0 S}$

Теперь мы можем подставить числовые значения величин в системе СИ и произвести расчёт:

$E = \frac{1,42 \times 10^{-6} \text{ Кл}}{8,85 \times 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}} \times 0,0401 \text{ м}^2}$

$E \approx \frac{1,42 \times 10^{-6}}{0,354885 \times 10^{-12}} \frac{\text{В}}{\text{м}} \approx 4,0013 \times 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Округлим результат до трёх значащих цифр, так как исходные данные даны с такой же точностью:

$E \approx 4,00 \times 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Этот результат также можно представить в мегавольтах на метр:

$E \approx 4,00 \frac{\text{МВ}}{\text{м}}$

Ответ: $4,00 \times 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.