Страница 94 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

720. Заряженный металлический лист свернули в цилиндр. Как изменилась поверхностная плотность заряда?

Решение

Поверхностная плотность заряда $ \sigma $ определяется как отношение заряда $ q $ к площади поверхности $ S $, по которой этот заряд распределен: $ \sigma = \frac{q}{S} $.

При сворачивании металлического листа его полный заряд $ q $ остается неизменным согласно закону сохранения заряда. Однако изменяется площадь, на которой этот заряд располагается.

В начальном состоянии, когда тело представляет собой плоский металлический лист, заряд $ q $ как на проводнике распределяется по всей его поверхности, то есть по обеим его сторонам. Если площадь одной стороны листа равна $ A $, то общая площадь распределения заряда составляет $ S_1 = 2A $. Начальная поверхностная плотность заряда равна:
$ \sigma_1 = \frac{q}{S_1} = \frac{q}{2A} $

После того как лист свернули в полый цилиндр, он все еще является проводником. В электростатике известно, что весь избыточный заряд на полом проводнике (при отсутствии других зарядов внутри полости) концентрируется исключительно на его внешней поверхности. Внутренняя поверхность остается электронейтральной.

Площадь внешней боковой поверхности цилиндра равна площади одной стороны исходного листа, то есть $ S_2 = A $. Весь заряд $ q $ перераспределится на эту внешнюю поверхность. Таким образом, конечная поверхностная плотность заряда составит:
$ \sigma_2 = \frac{q}{S_2} = \frac{q}{A} $

Сравнивая конечную плотность с начальной, находим их отношение:
$ \frac{\sigma_2}{\sigma_1} = \frac{q/A}{q/(2A)} = 2 $

Следовательно, поверхностная плотность заряда увеличилась в два раза. Физическая причина этого в том, что площадь, доступная для размещения заряда, уменьшилась вдвое: с двух сторон плоского листа до одной лишь внешней поверхности цилиндра.

Ответ: Поверхностная плотность заряда увеличилась в два раза.

721. Найти напряжённость поля заряженной бесконечной пластины, если поверхностная плотность заряда на ней равна $354 \text{ нКл}/\text{м}^2$.

Дано:

Поверхностная плотность заряда $\sigma = 354$ нКл/м²

Найти:

Напряжённость поля $E$

Решение:

Напряжённость электрического поля $E$, создаваемого бесконечной равномерно заряженной непроводящей пластиной, является однородным. Это означает, что его величина и направление одинаковы во всех точках пространства по одну сторону от пластины. Величину напряжённости можно рассчитать по формуле, которая выводится с помощью теоремы Гаусса:

$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

где:

$\sigma$ — поверхностная плотность заряда (в Кл/м²),

$\epsilon_0$ — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), её значение составляет приблизительно $8.85 \times 10^{-12}$ Ф/м.

Подставим данные из условия задачи в формулу. Значение поверхностной плотности заряда уже переведено в систему СИ:

$\sigma = 354 \times 10^{-9}$ Кл/м²

Выполним вычисление напряжённости поля:

$E = \frac{354 \times 10^{-9} \text{ Кл/м²}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}} = \frac{354 \times 10^{-9}}{17.7 \times 10^{-12}}$ В/м

Выполним деление числовых коэффициентов и степеней десяти отдельно:

$\frac{354}{17.7} = 20$

$\frac{10^{-9}}{10^{-12}} = 10^{-9 - (-12)} = 10^3$

Следовательно, искомая напряжённость поля равна:

$E = 20 \times 10^3$ В/м

Данное значение можно представить с использованием приставки "кило":

$E = 20$ кВ/м.

Ответ: напряжённость поля заряженной бесконечной пластины равна 20 кВ/м.

722. Отклонится ли стрелка электрометра, если между его стержнем и заряженной палочкой поместить стеклянную пластину так, чтобы она не касалась ни стержня, ни палочки; если, оставив пластину, убрать палочку; если, оставив палочку, убрать пластину?

Отклонится ли стрелка электрометра, если между его стержнем и заряженной палочкой поместить стеклянную пластину так, чтобы она не касалась ни стержня, ни палочки;
Да, стрелка электрометра отклонится. Заряженная палочка создаёт вокруг себя электрическое поле. Это поле вызывает явление электростатической индукции в проводящей системе электрометра (стержень и стрелка): свободные заряды в ней перераспределяются. Заряды, противоположные по знаку заряду палочки, концентрируются на стержне, а заряды, одноименные с зарядом палочки, отталкиваются к стрелке и нижней части стержня. В результате силы электростатического отталкивания между одноименно заряженными стрелкой и стержнем, стрелка отклоняется.
Стеклянная пластина является диэлектриком. Когда её помещают в электрическое поле, она поляризуется — происходит смещение связанных зарядов внутри её атомов или молекул. Поляризованный диэлектрик создаёт собственное внутреннее электрическое поле, направленное против внешнего поля палочки. В результате этого электрическое поле, действующее на электрометр, ослабевает. Напряжённость поля внутри диэлектрика $E$ уменьшается по сравнению с полем в вакууме $E_0$ в $\epsilon$ раз: $E = E_0 / \epsilon$, где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость стекла (для стекла $\epsilon > 1$).
Несмотря на ослабление, электрическое поле всё равно будет воздействовать на электрометр и вызывать электростатическую индукцию. Поэтому стрелка отклонится, хотя и на меньший угол, чем в отсутствие стеклянной пластины.

Ответ: Да, стрелка электрометра отклонится.

если, оставив пластину, убрать палочку;
В этом случае мы начинаем с ситуации, когда заряженная палочка, стеклянная пластина и электрометр находятся рядом, и стрелка электрометра отклонена. Отклонение стрелки и поляризация пластины вызваны исключительно электрическим полем заряженной палочки.
Когда мы убираем заряженную палочку, внешнее электрическое поле, действующее на систему, исчезает. Следовательно, исчезает и причина для поляризации стеклянной пластины и для разделения зарядов в электрометре. Индуцированные заряды на стержне и стрелке под действием сил кулоновского притяжения перераспределятся, и проводник снова станет электронейтральным в каждой своей точке. Сила отталкивания между стрелкой и стержнем пропадёт, и стрелка под действием силы тяжести вернётся в своё начальное вертикальное положение.

Ответ: Стрелка вернётся в исходное (вертикальное) положение.

если, оставив палочку, убрать пластину?
Этот сценарий также начинается с состояния, когда палочка, пластина и электрометр находятся рядом, а стрелка отклонена на определённый угол. Как было объяснено, стеклянная пластина (диэлектрик) ослабляет электрическое поле заряженной палочки.
Если убрать пластину, то на электрометр будет действовать более сильное, неослабленное электрическое поле от заряженной палочки. Усиление поля приведёт к более сильной электростатической индукции: большее количество свободных зарядов перераспределится в электрометре. На стрелке и нижней части стержня накопится больший по величине заряд, одноименный с зарядом палочки. Вследствие этого сила электростатического отталкивания между стрелкой и стержнем возрастёт, что приведёт к увеличению угла отклонения стрелки.

Ответ: Угол отклонения стрелки увеличится.

723. В однородном электрическом поле находятся вплотную прижатые друг к другу пластины винипласта, текстолита и слюды, расположенные так, что силовые линии перпендикулярны большим граням пластин. Напряженность поля в текстолите 60 В/м. Найти напряженность поля в винипласте, слюде, а также напряженность поля вне пластин.

Дано:

Найти:

Решение:

Согласно условию задачи, силовые линии электрического поля перпендикулярны большим граням пластин, то есть границам раздела диэлектриков. В этом случае применяется граничное условие для вектора электрического смещения $\vec{D}$. На границе раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора $\vec{D}$ остается непрерывной (не изменяется при переходе через границу).

Так как поле полностью перпендикулярно границам, то вектор электрического смещения $\vec{D}$ имеет только нормальную составляющую. Следовательно, его модуль одинаков во всех слоях диэлектриков и в пространстве вне их:

$D_{вне} = D_в = D_т = D_с = D$

Модуль вектора электрического смещения связан с модулем напряженности электрического поля $E$ соотношением: $D = \epsilon_0 \epsilon E$, где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, а $\epsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Из условия равенства модулей вектора смещения получаем:

$\epsilon_0 \epsilon_{вне} E_{вне} = \epsilon_0 \epsilon_в E_в = \epsilon_0 \epsilon_т E_т = \epsilon_0 \epsilon_с E_с$

Сокращая на $\epsilon_0$, имеем:

$\epsilon_{вне} E_{вне} = \epsilon_в E_в = \epsilon_т E_т = \epsilon_с E_с$

Мы знаем напряженность поля в текстолите $E_т$ и его диэлектрическую проницаемость $\epsilon_т$. Рассчитаем значение этого произведения, которое будет постоянным для всей системы:

$\epsilon_т E_т = 4.0 \cdot 60 \text{ В/м} = 240 \text{ В/м}$

Теперь мы можем найти напряженности в других средах.

Напряжённость поля в винипласте

Из равенства $\epsilon_в E_в = \epsilon_т E_т$ выражаем $E_в$:

$E_в = \frac{\epsilon_т E_т}{\epsilon_в} = \frac{240 \text{ В/м}}{3.5} \approx 68.57 \text{ В/м}$

Округлим до трех значащих цифр.

Ответ: напряжённость поля в винипласте составляет примерно $68.6$ В/м.

Напряжённость поля в слюде

Из равенства $\epsilon_с E_с = \epsilon_т E_т$ выражаем $E_с$:

$E_с = \frac{\epsilon_т E_т}{\epsilon_с} = \frac{240 \text{ В/м}}{7.0} \approx 34.29 \text{ В/м}$

Округлим до трех значащих цифр.

Ответ: напряжённость поля в слюде составляет примерно $34.3$ В/м.

Напряжённость поля вне пластин

Из равенства $\epsilon_{вне} E_{вне} = \epsilon_т E_т$ выражаем $E_{вне}$:

$E_{вне} = \frac{\epsilon_т E_т}{\epsilon_{вне}} = \frac{240 \text{ В/м}}{1} = 240 \text{ В/м}$

Это и есть напряженность внешнего однородного поля, в которое поместили пластины.

Ответ: напряжённость поля вне пластин составляет $240$ В/м.

724. Большая заряженная пластина с поверхностной плотностью заряда $40 \text{ нКл}/\text{м}^2$ погружена в масло. Найти напряжённость поля вблизи середины пластины.

Дано:

Поверхностная плотность заряда $\sigma = 40 \text{ нКл/м}^2$
Пластина погружена в масло. Диэлектрическая проницаемость масла $\epsilon \approx 2.5$ (справочное значение).
Электрическая постоянная $\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}$.

$\sigma = 40 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2$

Найти:

Напряжённость поля $E$ - ?

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью в вакууме, определяется по формуле: $E_0 = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Поскольку в условии указано, что пластина "большая", для точек вблизи её середины мы можем применять формулу для бесконечной плоскости.

Когда заряженная пластина находится в диэлектрической среде (в данном случае, в масле), напряжённость создаваемого ею поля ослабляется в $\epsilon$ раз, где $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды.

Следовательно, формула для напряжённости поля в масле имеет вид: $E = \frac{E_0}{\epsilon} = \frac{\sigma}{2\epsilon\epsilon_0}$

Подставим числовые значения в формулу, приняв диэлектрическую проницаемость масла $\epsilon = 2.5$: $E = \frac{40 \times 10^{-9} \text{ Кл/м}^2}{2 \times 2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}}$

Произведем вычисления: $E = \frac{40 \times 10^{-9}}{5 \times 8.85 \times 10^{-12}} \text{ В/м} = \frac{40 \times 10^{-9}}{44.25 \times 10^{-12}} \text{ В/м}$

$E \approx 0.90395 \times 10^3 \text{ В/м} \approx 904 \text{ В/м}$

Ответ: напряжённость поля вблизи середины пластины составляет примерно $904 \text{ В/м}$.

725. Найти значение каждого из двух одинаковых зарядов, если в масле на расстоянии 6 см друг от друга они взаимодействуют с силой 0,4 мН.

Дано:

$q_1 = q_2 = q$
$r = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$
$F = 0,4 \text{ мН} = 0,4 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 4 \cdot 10^{-4} \text{ Н}$
Среда - масло, диэлектрическая проницаемость масла $\epsilon \approx 2,5$ (справочное значение).
Электрическая постоянная $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Найти:

$q$

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в диэлектрической среде определяется законом Кулона: $$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$ По условию задачи заряды одинаковы, $q_1 = q_2 = q$. Тогда формула принимает вид: $$F = \frac{k}{\epsilon} \frac{q^2}{r^2}$$ где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ - коэффициент пропорциональности в законе Кулона для вакуума.

Выразим из этой формулы квадрат заряда $q^2$: $$q^2 = \frac{F \cdot \epsilon \cdot r^2}{k}$$ Теперь можем найти модуль заряда $|q|$, взяв квадратный корень: $$|q| = \sqrt{\frac{F \cdot \epsilon \cdot r^2}{k}} = r \sqrt{\frac{F \cdot \epsilon}{k}}$$

Подставим числовые значения в систему СИ: $$|q| = 0,06 \cdot \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-4} \cdot 2,5}{9 \cdot 10^9}} = 0,06 \cdot \sqrt{\frac{10 \cdot 10^{-4}}{9 \cdot 10^9}} = 0,06 \cdot \sqrt{\frac{10^{-3}}{9 \cdot 10^9}}$$ $$|q| = 0,06 \cdot \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 10^{-12}} = 0,06 \cdot \frac{1}{3} \cdot 10^{-6} = 0,02 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$$ $$|q| = 2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$$

Для удобства можно перевести результат в нанокулоны (1 нКл = $10^{-9}$ Кл): $$|q| = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 20 \text{ нКл}$$ Так как заряды по условию одинаковые ($q_1 = q_2$), они имеют одинаковый знак. Таким образом, значение каждого заряда может быть как положительным, так и отрицательным, то есть $q = \pm 20$ нКл.

Ответ: значение каждого из зарядов равно $\pm 2 \cdot 10^{-8}$ Кл (или $\pm 20$ нКл).

модействует с силой 6,1 МН.

726. Во сколько раз надо изменить значение каждого из двух одинаковых зарядов, чтобы при погружении их в воду сила взаимодействия при неизменном расстоянии между ними была такая же, как в воздухе?

Дано:

Два одинаковых заряда в воздухе: $q_1 = q_2 = q$

Те же заряды, измененные и помещенные в воду: $q'_1 = q'_2 = q'$

Сила взаимодействия в воздухе: $F_{возд}$

Сила взаимодействия в воде: $F_{воды}$

Условие задачи: $F_{возд} = F_{воды}$

Расстояние между зарядами неизменно: $r = \text{const}$

Диэлектрическая проницаемость воздуха: $\epsilon_{возд} \approx 1$

Диэлектрическая проницаемость воды: $\epsilon_{воды} = 81$

Найти:

Во сколько раз надо изменить значение каждого заряда, то есть найти отношение $\frac{q'}{q}$.

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в среде определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности, $q_1$ и $q_2$ — величины зарядов, $r$ — расстояние между ними, а $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды.

Запишем выражение для силы взаимодействия зарядов $q$ в воздухе, где $\epsilon_{возд} \approx 1$:

$F_{возд} = k \frac{q \cdot q}{\epsilon_{возд} r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Теперь запишем выражение для силы взаимодействия новых зарядов $q'$ в воде, диэлектрическая проницаемость которой $\epsilon_{воды} = 81$:

$F_{воды} = k \frac{q' \cdot q'}{\epsilon_{воды} r^2} = k \frac{(q')^2}{\epsilon_{воды} r^2}$

Согласно условию задачи, силы взаимодействия в воздухе и в воде равны:

$F_{возд} = F_{воды}$

Приравняем правые части выражений:

$k \frac{q^2}{r^2} = k \frac{(q')^2}{\epsilon_{воды} r^2}$

Сократим одинаковые множители $k$ и $r^2$ в обеих частях уравнения:

$q^2 = \frac{(q')^2}{\epsilon_{воды}}$

Выразим $(q')^2$:

$(q')^2 = q^2 \cdot \epsilon_{воды}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $q'$:

$q' = q \sqrt{\epsilon_{воды}}$

Теперь найдем искомое отношение $\frac{q'}{q}$:

$\frac{q'}{q} = \sqrt{\epsilon_{воды}}$

Подставим значение диэлектрической проницаемости воды $\epsilon_{воды} = 81$:

$\frac{q'}{q} = \sqrt{81} = 9$

Таким образом, значение каждого заряда необходимо увеличить в 9 раз.

Ответ: Значение каждого из двух одинаковых зарядов надо увеличить в 9 раз.

727. Во сколько раз надо изменить расстояние между двумя зарядами, чтобы при погружении их в керосин сила взаимодействия между ними была такая же, как в воздухе?

Дано:

Среда 1: воздух, диэлектрическая проницаемость $\epsilon_1 \approx 1$.

Среда 2: керосин, диэлектрическая проницаемость $\epsilon_2 = 2.1$.

Сила взаимодействия в воздухе равна силе взаимодействия в керосине: $F_1 = F_2$.

Найти:

Отношение начального расстояния ($r_1$) к конечному ($r_2$), то есть $\frac{r_1}{r_2}$.

Решение:

Сила электростатического взаимодействия (сила Кулона) между двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, определяется по формуле:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Запишем выражение для силы взаимодействия зарядов в воздухе ($F_1$) на расстоянии $r_1$:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_1 r_1^2}$

Запишем выражение для силы взаимодействия тех же зарядов в керосине ($F_2$) на расстоянии $r_2$:

$F_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_2 r_2^2}$

Согласно условию задачи, эти силы равны: $F_1 = F_2$.

$k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_1 r_1^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_2 r_2^2}$

Сократим общие множители ($k$, $|q_1 q_2|$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{\epsilon_1 r_1^2} = \frac{1}{\epsilon_2 r_2^2}$

Подставим значения диэлектрических проницаемостей: для воздуха $\epsilon_1 \approx 1$, для керосина $\epsilon_2 = 2.1$.

$\frac{1}{1 \cdot r_1^2} = \frac{1}{2.1 \cdot r_2^2}$

Отсюда получаем:

$r_1^2 = 2.1 \cdot r_2^2$

Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить расстояние, найдем отношение $\frac{r_1}{r_2}$:

$\frac{r_1^2}{r_2^2} = 2.1$

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{2.1} \approx 1.45$

Полученное отношение показывает, что начальное расстояние в воздухе $r_1$ должно быть в $\sqrt{2.1}$ раз больше, чем конечное расстояние в керосине $r_2$. Следовательно, чтобы сила взаимодействия осталась прежней, расстояние между зарядами необходимо уменьшить.

Ответ: расстояние необходимо уменьшить в $\sqrt{2.1} \approx 1.45$ раз.

728. На расстоянии $3\text{ см}$ от заряда $4\text{ нКл}$, находящегося в жидком диэлектрике, напряжённость поля равна $20\text{ кВ/м}$. Какова диэлектрическая проницаемость диэлектрика?

Дано:

$r = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$q = 4 \text{ нКл} = 4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$E = 20 \text{ кВ/м} = 20 \cdot 10^3 \text{ В/м} = 2 \cdot 10^4 \text{ В/м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (коэффициент пропорциональности в законе Кулона)

Найти:

$\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него в однородной среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, определяется формулой:

$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon} \frac{|q|}{r^2}$

Здесь $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная. Удобнее использовать формулу с коэффициентом пропорциональности $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$:

$E = \frac{k \cdot |q|}{\varepsilon \cdot r^2}$

Из этой формулы выразим искомую диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{k \cdot |q|}{E \cdot r^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ и выполним расчёт:

$\varepsilon = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{2 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot (3 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2} = \frac{36 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}}}{2 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}} \cdot 9 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{36}{18 \cdot 10^{4-4}} = \frac{36}{18} = 2$

Диэлектрическая проницаемость является безразмерной величиной.

Ответ: диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 2.

729. Очень маленький заряженный шарик погрузили в керосин. На каком расстоянии от шарика напряжённость поля будет такая же, какая была до погружения на расстоянии 29 см?

Дано:

Расстояние от шарика в воздухе, $r_1 = 29$ см
Диэлектрическая проницаемость керосина, $\epsilon = 2.1$ (справочное значение)
Напряженность поля в воздухе $E_1$ равна напряженности поля в керосине $E_2$.

$r_1 = 29 \text{ см} = 0.29 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от шарика в керосине $r_2$.

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ в вакууме (или воздухе, где диэлектрическая проницаемость близка к 1), на расстоянии $r_1$ определяется по формуле: $E_1 = k \frac{|q|}{r_1^2}$ где $k$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

При погружении шарика в диэлектрическую среду, такую как керосин, напряженность его поля на расстоянии $r_2$ ослабевает в $\epsilon$ раз по сравнению с полем в вакууме на том же расстоянии. Формула для напряженности поля в диэлектрике имеет вид: $E_2 = \frac{k}{\epsilon} \frac{|q|}{r_2^2}$

По условию задачи, напряженности полей в обоих случаях равны: $E_1 = E_2$. Приравняем правые части выражений: $k \frac{|q|}{r_1^2} = \frac{k}{\epsilon} \frac{|q|}{r_2^2}$

Сократим одинаковые множители $k$ и $|q|$ в обеих частях уравнения (заряд шарика и константа не равны нулю): $\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{\epsilon r_2^2}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $r_2$. Сначала найдем $r_2^2$: $\epsilon r_2^2 = r_1^2$ $r_2^2 = \frac{r_1^2}{\epsilon}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $r_2$: $r_2 = \sqrt{\frac{r_1^2}{\epsilon}} = \frac{r_1}{\sqrt{\epsilon}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Расчет можно вести в сантиметрах, тогда и ответ будет в сантиметрах. $r_2 = \frac{29 \text{ см}}{\sqrt{2.1}} \approx \frac{29 \text{ см}}{1.449} \approx 20.01 \text{ см}$

Округлим результат до целых.

Ответ: на расстоянии примерно 20 см от шарика в керосине напряженность поля будет такая же.

730. Одинаковые шарики, подвешенные на закреплённых в одной точке нитях равной длины, зарядили одинаковыми одноимёнными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен $\alpha = 60^{\circ}$. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до $\beta = 50^{\circ}$. Найти диэлектрическую проницаемость среды $\epsilon$. Выталкивающей силой пренебречь.

Дано:

Угол между нитями в воздухе, $\alpha = 60^\circ$
Угол между нитями в диэлектрике, $\beta = 50^\circ$
Диэлектрическая проницаемость воздуха принимается равной $\epsilon_1 = 1$.

Найти:

Диэлектрическую проницаемость среды $\epsilon$.

Решение:

Рассмотрим равновесие одного из шариков. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити, и сила электростатического отталкивания $F_e$, направленная горизонтально.

В первом случае, когда шарики находятся в воздухе, угол отклонения каждой нити от вертикали равен $\alpha/2$. Запишем условие равновесия для одного шарика в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$T_1 \sin(\alpha/2) = F_{e1}$
$T_1 \cos(\alpha/2) = mg$

Разделив первое уравнение на второе, исключим силу натяжения $T_1$:

$\tan(\alpha/2) = \frac{F_{e1}}{mg}$

Сила кулоновского отталкивания в воздухе $F_{e1}$ определяется по формуле:

$F_{e1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r_1^2}$

где $q$ - заряд каждого шарика, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, а $r_1$ - расстояние между шариками. Если $l$ - длина нити, то $r_1 = 2l \sin(\alpha/2)$.

Подставив выражение для $r_1$ в формулу для силы, а затем в условие равновесия, получим:

$mg \tan(\alpha/2) = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l \sin(\alpha/2))^2}$ (1)

Во втором случае, когда шарики погружены в жидкий диэлектрик с проницаемостью $\epsilon$, угол между нитями равен $\beta$. Угол отклонения каждой нити от вертикали равен $\beta/2$. По условию задачи выталкивающей силой пренебрегаем, поэтому сила тяжести, действующая на шарик, остается $mg$. Сила Кулона в диэлектрике уменьшается в $\epsilon$ раз.

Условие равновесия для этого случая:

$\tan(\beta/2) = \frac{F_{e2}}{mg}$

Сила отталкивания в диэлектрике $F_{e2}$:

$F_{e2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q^2}{r_2^2}$

где расстояние между шариками $r_2 = 2l \sin(\beta/2)$.

Подставив выражения, получим:

$mg \tan(\beta/2) = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon (2l \sin(\beta/2))^2}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Разделим левые и правые части уравнений (1) и (2) друг на друга, чтобы избавиться от неизвестных величин $mg$, $q$ и $l$.

$\frac{mg \tan(\alpha/2)}{mg \tan(\beta/2)} = \frac{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l \sin(\alpha/2))^2}}{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon (2l \sin(\beta/2))^2}}$

После сокращения общих множителей ($mg$, $q^2$, $4\pi\epsilon_0$, $(2l)^2$) получаем:

$\frac{\tan(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)} = \frac{\frac{1}{\sin^2(\alpha/2)}}{\frac{1}{\epsilon \sin^2(\beta/2)}} = \frac{\epsilon \sin^2(\beta/2)}{\sin^2(\alpha/2)}$

Выразим диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{\tan(\alpha/2) \sin^2(\alpha/2)}{\tan(\beta/2) \sin^2(\beta/2)}$

Подставим числовые значения углов: $\alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$ и $\beta/2 = 50^\circ/2 = 25^\circ$.

$\epsilon = \frac{\tan(30^\circ) \sin^2(30^\circ)}{\tan(25^\circ) \sin^2(25^\circ)}$

Выполним расчеты, используя значения тригонометрических функций:

$\epsilon \approx \frac{0.5774 \cdot (0.5)^2}{0.4663 \cdot (0.4226)^2} = \frac{0.5774 \cdot 0.25}{0.4663 \cdot 0.1786} \approx \frac{0.14435}{0.08328} \approx 1.73$

Ответ: $\epsilon \approx 1.73$.