Номер 729, страница 94 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

729. Очень маленький заряженный шарик погрузили в керосин. На каком расстоянии от шарика напряжённость поля будет такая же, какая была до погружения на расстоянии 29 см?

Дано:

Расстояние от шарика в воздухе, $r_1 = 29$ см
Диэлектрическая проницаемость керосина, $\epsilon = 2.1$ (справочное значение)
Напряженность поля в воздухе $E_1$ равна напряженности поля в керосине $E_2$.

$r_1 = 29 \text{ см} = 0.29 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от шарика в керосине $r_2$.

Решение:

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ в вакууме (или воздухе, где диэлектрическая проницаемость близка к 1), на расстоянии $r_1$ определяется по формуле: $E_1 = k \frac{|q|}{r_1^2}$ где $k$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

При погружении шарика в диэлектрическую среду, такую как керосин, напряженность его поля на расстоянии $r_2$ ослабевает в $\epsilon$ раз по сравнению с полем в вакууме на том же расстоянии. Формула для напряженности поля в диэлектрике имеет вид: $E_2 = \frac{k}{\epsilon} \frac{|q|}{r_2^2}$

По условию задачи, напряженности полей в обоих случаях равны: $E_1 = E_2$. Приравняем правые части выражений: $k \frac{|q|}{r_1^2} = \frac{k}{\epsilon} \frac{|q|}{r_2^2}$

Сократим одинаковые множители $k$ и $|q|$ в обеих частях уравнения (заряд шарика и константа не равны нулю): $\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{\epsilon r_2^2}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $r_2$. Сначала найдем $r_2^2$: $\epsilon r_2^2 = r_1^2$ $r_2^2 = \frac{r_1^2}{\epsilon}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $r_2$: $r_2 = \sqrt{\frac{r_1^2}{\epsilon}} = \frac{r_1}{\sqrt{\epsilon}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Расчет можно вести в сантиметрах, тогда и ответ будет в сантиметрах. $r_2 = \frac{29 \text{ см}}{\sqrt{2.1}} \approx \frac{29 \text{ см}}{1.449} \approx 20.01 \text{ см}$

Округлим результат до целых.

Ответ: на расстоянии примерно 20 см от шарика в керосине напряженность поля будет такая же.