Номер 730, страница 94 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

730. Одинаковые шарики, подвешенные на закреплённых в одной точке нитях равной длины, зарядили одинаковыми одноимёнными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен $\alpha = 60^{\circ}$. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до $\beta = 50^{\circ}$. Найти диэлектрическую проницаемость среды $\epsilon$. Выталкивающей силой пренебречь.

Дано:

Угол между нитями в воздухе, $\alpha = 60^\circ$
Угол между нитями в диэлектрике, $\beta = 50^\circ$
Диэлектрическая проницаемость воздуха принимается равной $\epsilon_1 = 1$.

Найти:

Диэлектрическую проницаемость среды $\epsilon$.

Решение:

Рассмотрим равновесие одного из шариков. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити, и сила электростатического отталкивания $F_e$, направленная горизонтально.

В первом случае, когда шарики находятся в воздухе, угол отклонения каждой нити от вертикали равен $\alpha/2$. Запишем условие равновесия для одного шарика в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$T_1 \sin(\alpha/2) = F_{e1}$
$T_1 \cos(\alpha/2) = mg$

Разделив первое уравнение на второе, исключим силу натяжения $T_1$:

$\tan(\alpha/2) = \frac{F_{e1}}{mg}$

Сила кулоновского отталкивания в воздухе $F_{e1}$ определяется по формуле:

$F_{e1} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r_1^2}$

где $q$ - заряд каждого шарика, $\epsilon_0$ - электрическая постоянная, а $r_1$ - расстояние между шариками. Если $l$ - длина нити, то $r_1 = 2l \sin(\alpha/2)$.

Подставив выражение для $r_1$ в формулу для силы, а затем в условие равновесия, получим:

$mg \tan(\alpha/2) = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l \sin(\alpha/2))^2}$ (1)

Во втором случае, когда шарики погружены в жидкий диэлектрик с проницаемостью $\epsilon$, угол между нитями равен $\beta$. Угол отклонения каждой нити от вертикали равен $\beta/2$. По условию задачи выталкивающей силой пренебрегаем, поэтому сила тяжести, действующая на шарик, остается $mg$. Сила Кулона в диэлектрике уменьшается в $\epsilon$ раз.

Условие равновесия для этого случая:

$\tan(\beta/2) = \frac{F_{e2}}{mg}$

Сила отталкивания в диэлектрике $F_{e2}$:

$F_{e2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0\epsilon} \frac{q^2}{r_2^2}$

где расстояние между шариками $r_2 = 2l \sin(\beta/2)$.

Подставив выражения, получим:

$mg \tan(\beta/2) = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon (2l \sin(\beta/2))^2}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Разделим левые и правые части уравнений (1) и (2) друг на друга, чтобы избавиться от неизвестных величин $mg$, $q$ и $l$.

$\frac{mg \tan(\alpha/2)}{mg \tan(\beta/2)} = \frac{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 (2l \sin(\alpha/2))^2}}{\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\epsilon (2l \sin(\beta/2))^2}}$

После сокращения общих множителей ($mg$, $q^2$, $4\pi\epsilon_0$, $(2l)^2$) получаем:

$\frac{\tan(\alpha/2)}{\tan(\beta/2)} = \frac{\frac{1}{\sin^2(\alpha/2)}}{\frac{1}{\epsilon \sin^2(\beta/2)}} = \frac{\epsilon \sin^2(\beta/2)}{\sin^2(\alpha/2)}$

Выразим диэлектрическую проницаемость $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{\tan(\alpha/2) \sin^2(\alpha/2)}{\tan(\beta/2) \sin^2(\beta/2)}$

Подставим числовые значения углов: $\alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$ и $\beta/2 = 50^\circ/2 = 25^\circ$.

$\epsilon = \frac{\tan(30^\circ) \sin^2(30^\circ)}{\tan(25^\circ) \sin^2(25^\circ)}$

Выполним расчеты, используя значения тригонометрических функций:

$\epsilon \approx \frac{0.5774 \cdot (0.5)^2}{0.4663 \cdot (0.4226)^2} = \frac{0.5774 \cdot 0.25}{0.4663 \cdot 0.1786} \approx \frac{0.14435}{0.08328} \approx 1.73$

Ответ: $\epsilon \approx 1.73$.