Номер 727, страница 94 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

727. Во сколько раз надо изменить расстояние между двумя зарядами, чтобы при погружении их в керосин сила взаимодействия между ними была такая же, как в воздухе?

Дано:

Среда 1: воздух, диэлектрическая проницаемость $\epsilon_1 \approx 1$.

Среда 2: керосин, диэлектрическая проницаемость $\epsilon_2 = 2.1$.

Сила взаимодействия в воздухе равна силе взаимодействия в керосине: $F_1 = F_2$.

Найти:

Отношение начального расстояния ($r_1$) к конечному ($r_2$), то есть $\frac{r_1}{r_2}$.

Решение:

Сила электростатического взаимодействия (сила Кулона) между двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, определяется по формуле:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Запишем выражение для силы взаимодействия зарядов в воздухе ($F_1$) на расстоянии $r_1$:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_1 r_1^2}$

Запишем выражение для силы взаимодействия тех же зарядов в керосине ($F_2$) на расстоянии $r_2$:

$F_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_2 r_2^2}$

Согласно условию задачи, эти силы равны: $F_1 = F_2$.

$k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_1 r_1^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon_2 r_2^2}$

Сократим общие множители ($k$, $|q_1 q_2|$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{\epsilon_1 r_1^2} = \frac{1}{\epsilon_2 r_2^2}$

Подставим значения диэлектрических проницаемостей: для воздуха $\epsilon_1 \approx 1$, для керосина $\epsilon_2 = 2.1$.

$\frac{1}{1 \cdot r_1^2} = \frac{1}{2.1 \cdot r_2^2}$

Отсюда получаем:

$r_1^2 = 2.1 \cdot r_2^2$

Чтобы найти, во сколько раз нужно изменить расстояние, найдем отношение $\frac{r_1}{r_2}$:

$\frac{r_1^2}{r_2^2} = 2.1$

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{2.1} \approx 1.45$

Полученное отношение показывает, что начальное расстояние в воздухе $r_1$ должно быть в $\sqrt{2.1}$ раз больше, чем конечное расстояние в керосине $r_2$. Следовательно, чтобы сила взаимодействия осталась прежней, расстояние между зарядами необходимо уменьшить.

Ответ: расстояние необходимо уменьшить в $\sqrt{2.1} \approx 1.45$ раз.