Страница 93 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

712. Сравнить силу взаимодействия двух одинаковых шаров в случае одноимённых и разноимённых одинаковых по модулю зарядов. Расстояние между зарядами сравнимо с их радиусом.

Для решения этой задачи необходимо учесть явление электростатической индукции, поскольку расстояние между шарами сравнимо с их размерами. Если бы шары были точечными зарядами, силы взаимодействия в обоих случаях были бы равны по модулю. Однако из-за перераспределения зарядов на поверхности проводящих шаров magnitudes сил будут отличаться.

В случае одноимённых зарядов

Рассмотрим два шара с одинаковыми по знаку и модулю зарядами, например, $q_1 = +q$ и $q_2 = +q$. Заряды на поверхности каждого шара будут отталкиваться от зарядов на соседнем шаре. В результате этого на каждом шаре заряды сместятся на сторону, наиболее удалённую от другого шара.

Это приведёт к тому, что эффективное расстояние $d_{1}$ между центрами распределения зарядов станет больше, чем расстояние $d$ между геометрическими центрами шаров ($d_{1} > d$).

Сила отталкивания $F_{отт}$ определяется этим эффективным расстоянием и будет меньше, чем сила, рассчитанная по закону Кулона для точечных зарядов:

$F_{отт} = k \frac{q^2}{d_{1}^2} < k \frac{q^2}{d^2}$

В случае разноимённых зарядов

Теперь рассмотрим два шара с равными по модулю, но противоположными по знаку зарядами, например, $q_1 = +q$ и $q_2 = -q$. Разноимённые заряды на шарах будут притягиваться друг к другу. В результате положительные заряды на первом шаре и отрицательные на втором сместятся и сконцентрируются на сторонах, обращённых друг к другу.

Это приведёт к тому, что эффективное расстояние $d_{2}$ между центрами распределения зарядов станет меньше, чем расстояние $d$ между геометрическими центрами шаров ($d_{2} < d$).

Сила притяжения $F_{прит}$ будет, соответственно, больше, чем сила для точечных зарядов:

$F_{прит} = k \frac{q^2}{d_{2}^2} > k \frac{q^2}{d^2}$

Сравнивая величины сил, получаем, что $F_{прит} > F_{отт}$.

Ответ: Сила взаимодействия в случае разноимённых зарядов (сила притяжения) будет по модулю больше, чем сила взаимодействия в случае одноимённых зарядов (сила отталкивания).

713. Как, имея заряженную палочку, зарядить два металлических шара, укреплённых на изолирующих подставках, одинаковыми по модулю и противоположными по знаку зарядами?

Решение

Чтобы зарядить два металлических шара одинаковыми по модулю и противоположными по знаку зарядами, необходимо применить метод электростатической индукции. Этот процесс включает в себя следующие шаги:
1. Установите два электронейтральных металлических шара на изолирующие подставки и сдвиньте их так, чтобы они соприкасались. В таком положении они образуют единый проводник, по которому могут свободно перемещаться заряды.
2. Возьмите заряженную палочку (например, положительно заряженную) и поднесите её к одному из шаров, не касаясь его поверхности.
3. Электрическое поле заряженной палочки вызовет перераспределение свободных электронов в соприкасающихся шарах. Свободные электроны, имеющие отрицательный заряд, притянутся к положительно заряженной палочке и скопятся на поверхности шара, который находится ближе к палочке. Соответственно, на дальнем от палочки шаре возникнет недостаток электронов, и он приобретёт положительный заряд.
4. Не убирая заряженную палочку, аккуратно раздвиньте шары. Так как они установлены на изолирующих подставках, разделённые заряды не смогут покинуть шары. Теперь на одном шаре находится избыточный отрицательный заряд, а на другом — равный ему по величине положительный заряд.
5. Уберите заряженную палочку. После этого индуцированные заряды на каждом шаре равномерно распределятся по их поверхностям под действием сил кулоновского отталкивания.

В результате один шар окажется заряженным отрицательно (заряд $–q$), а другой — положительно (заряд $+q$). Согласно закону сохранения электрического заряда, суммарный заряд системы из двух шаров остался равным нулю, так как изначально шары были нейтральны, а в процессе происходило лишь перераспределение уже имеющихся зарядов. Поэтому абсолютные величины зарядов на шарах будут равны: $|–q| = |+q|$.

Ответ: Нужно сдвинуть шары на изолирующих подставках так, чтобы они соприкасались. Затем поднести к одному из них заряженную палочку, не касаясь его. Это вызовет перераспределение зарядов: на ближнем к палочке шаре скопится заряд, противоположный по знаку заряду палочки, а на дальнем — одноимённый. Не убирая палочку, следует раздвинуть шары, после чего убрать палочку. В результате шары окажутся заряженными равными по модулю и противоположными по знаку зарядами.

714. В однородное электрическое поле внесли металлический шар. Останется ли поле однородным вблизи поверхности шара?

Решение

Нет, электрическое поле вблизи поверхности металлического шара перестанет быть однородным. Это явление объясняется электростатической индукцией.

1. Когда металлический шар, являющийся проводником, помещают во внешнее однородное электрическое поле, свободные электроны в металле начинают двигаться под действием этого поля. Они смещаются в сторону, противоположную направлению вектора напряженности поля $E$.

2. В результате этого перераспределения на одной стороне шара накапливается избыточный отрицательный заряд, а на противоположной стороне — избыточный положительный заряд (недостаток электронов). Эти заряды называются индуцированными.

3. Индуцированные заряды создают своё собственное электрическое поле. Это поле направлено против внешнего поля внутри проводника, и оно полностью компенсирует внешнее поле, так что напряженность результирующего поля внутри шара становится равной нулю.

4. Снаружи шара поле индуцированных зарядов складывается с первоначальным однородным полем. Так как поле, создаваемое зарядами, распределенными по сфере, не является однородным, то и результирующее поле вблизи поверхности шара будет неоднородным. Силовые линии исходного поля, которые были параллельны, искривляются вблизи шара. Они должны подходить к поверхности проводника и отходить от неё строго перпендикулярно, так как поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Это искривление и означает, что поле стало неоднородным.

Ответ: Нет, поле вблизи поверхности металлического шара станет неоднородным из-за явления электростатической индукции.

715. К заряженному электрометру подносили:

а) изолированный незаряженный проводник;

б) заземлённый проводник.

Как изменялись показания электрометра в каждом из этих случаев?

Для ответа на вопрос предположим, что электроскоп заряжен положительно. В этом случае его стрелка (или листочки) отклонена, так как одноименные заряды на стержне и стрелке отталкиваются. Величина отклонения стрелки зависит от величины заряда на ней, а точнее, от потенциала электроскопа.

а) изолированный незаряженный проводник

Когда к заряженному электроскопу подносят изолированный незаряженный проводник, в этом проводнике происходит явление электростатической индукции. Под действием электрического поля электроскопа свободные заряды внутри проводника перераспределяются. На стороне проводника, ближайшей к электроскопу, скапливаются заряды противоположного знака (в нашем случае — отрицательные), а на дальней стороне — заряды того же знака (положительные).

Индуцированные отрицательные заряды на ближней стороне проводника находятся ближе к электроскопу, чем индуцированные положительные заряды на дальней стороне. Поэтому их влияние оказывается сильнее. Они притягивают к себе часть положительных зарядов со стрелки и нижней части стержня электроскопа, заставляя их переместиться вверх, на шарик (или верхнюю часть стержня). В результате заряд на стрелке уменьшается, сила отталкивания между стрелкой и стержнем ослабевает, и стрелка опускается. Таким образом, показания электрометра уменьшаются.

Ответ: Показания электрометра уменьшатся.

б) заземлённый проводник

Когда к заряженному электроскопу подносят заземлённый проводник, в нём также происходит перераспределение зарядов под действием поля электроскопа. Однако, поскольку проводник соединён с Землёй (которую можно считать бесконечным резервуаром зарядов), ситуация меняется. Положительно заряженный электроскоп притягивает к себе отрицательные заряды (электроны) из земли, которые перетекают на проводник и концентрируются на его стороне, обращённой к электроскопу. В отличие от случая с изолированным проводником, на заземлённом проводнике не образуется область с избыточным положительным зарядом, так как он имеет возможность "забрать" из земли столько отрицательного заряда, сколько необходимо для компенсации поля электроскопа.

В результате на заземлённом проводнике индуцируется суммарный отрицательный заряд, который по абсолютной величине больше, чем отрицательный заряд, индуцированный на ближней стороне в случае (а). Этот больший отрицательный заряд оказывает еще более сильное притягивающее действие на положительные заряды электроскопа. Еще большее количество положительных зарядов переместится со стрелки вверх, что приведёт к более сильному уменьшению заряда на стрелке. Следовательно, стрелка опустится еще ниже, чем в первом случае.

Ответ: Показания электрометра уменьшатся (причём сильнее, чем в случае а).

716. К незаряженной алюминиевой гильзе подносят наэлектризованное тело. Можно подобрать такое расстояние, на котором гильза ещё не притягивается к телу, но стоит коснуться её пальцем, и гильза притянется. Объяснить явление.

Данное явление объясняется электростатической индукцией и последующей электризацией гильзы через влияние (заземление).

1. Начальное состояние: электростатическая индукция.

Когда к незаряженной алюминиевой гильзе (которая является проводником) подносят наэлектризованное тело (для определённости, пусть оно заряжено положительно), в гильзе происходит перераспределение свободных зарядов. Свободные электроны притягиваются к положительному телу и скапливаются на ближней к нему стороне гильзы. Соответственно, на дальней стороне гильзы образуется избыток положительного заряда (недостаток электронов). Этот процесс называется электростатической индукцией. Хотя в целом гильза остается нейтральной, она поляризуется. Из-за того, что разноименные заряды (отрицательные) на гильзе находятся ближе к телу, чем одноименные (положительные), возникает слабая сила притяжения. По условию, этой силы недостаточно, чтобы притянуть гильзу.

2. Касание пальцем: электризация через влияние.

Когда человек касается гильзы пальцем, он соединяет её со своим телом, которое является проводником очень большой ёмкости и может рассматриваться как заземление. Система «гильза – тело человека» становится единым проводником. Положительный заряд, отталкиваемый внешним телом на дальнюю сторону гильзы, получает возможность уйти ещё дальше – он нейтрализуется электронами, приходящими из тела человека. После того как палец убирают (при этом заряженное тело остаётся на месте), на гильзе остаётся избыточный отрицательный заряд. Таким образом, гильза приобретает собственный заряд, противоположный по знаку заряду поднесенного тела.

3. Конечное состояние: сильное притяжение.

Теперь гильза не просто поляризована, а имеет суммарный отрицательный заряд. Сила кулоновского притяжения между положительно заряженным телом и отрицательно заряженной гильзой становится значительно больше, чем начальная индукционная сила притяжения. Эта усилившаяся сила и заставляет гильзу заметно притягиваться к телу.

Ответ: Явление объясняется тем, что при касании пальцем (заземлении) гильза, находящаяся в поле заряженного тела, приобретает заряд, противоположный по знаку заряду этого тела. В результате сила их электростатического притяжения значительно возрастает.

717. Металлические шары, помещённые на изолирующих подставках, привели в соприкосновение и зарядили отрицательно (рис. 75). Поместив на некотором расстоянии отрицательно заряженную палочку, шар A отодвинули и палочку убрали. Доказать рассуждением, что шар A всегда заряжен отрицательно, а шар B в зависимости от расстояния BC может быть заряжен отрицательно, остаться нейтральным или зарядиться положительно.

Рис. 75

Для решения этой задачи воспользуемся явлением электростатической индукции и законом сохранения электрического заряда.

Изначально два соприкасающихся металлических шара А и В представляют собой единый проводник, которому сообщили суммарный отрицательный заряд $q_{общ} < 0$. Этот избыточный заряд (электроны) распределяется по поверхности обоих шаров.

Когда к системе подносят отрицательно заряженную палочку С, её электрическое поле действует на свободные электроны в проводнике А-В. Поскольку одноименные заряды отталкиваются, электроны в проводнике А-В перемещаются как можно дальше от палочки С. Так как палочка находится возле шара В, наиболее удаленной частью проводника является шар А. Следовательно, происходит перераспределение заряда: электроны с шара В (и частично с той стороны шара А, что ближе к В) перемещаются на дальнюю сторону шара А. В результате на шаре А концентрируется еще больший отрицательный заряд, а отрицательный заряд шара В уменьшается.

Когда шары раздвигают, это индуцированное распределение заряда "фиксируется", так как шары становятся двумя отдельными, изолированными телами.

Доказать, что шар А всегда заряжен отрицательно

Шар А изначально является частью отрицательно заряженной системы, то есть на нем уже есть избыток электронов. Процесс электростатической индукции под действием отрицательной палочки С приводит к тому, что на шар А перемещается дополнительное количество электронов с шара В. Таким образом, суммарный заряд шара А после разделения ($q_A'$) складывается из его начальной доли отрицательного заряда и дополнительного отрицательного заряда, пришедшего с шара В. Шар А не может отдать электроны в этой ситуации, он их только принимает. Поэтому его заряд может стать только более отрицательным.

Ответ: Шар А всегда будет заряжен отрицательно, так как к его первоначальному отрицательному заряду добавляются электроны, оттолкнувшиеся от отрицательно заряженной палочки С.

Доказать, что шар В в зависимости от расстояния ВС может быть заряжен отрицательно, остаться нейтральным или зарядиться положительно

Итоговый заряд шара В ($q_B'$) зависит от того, сколько электронов покинуло его под действием палочки С. Количество ушедших электронов определяется силой электрического поля палочки, которая, в свою очередь, зависит от расстояния ВС.

Возможны три сценария:
1. Расстояние ВС велико. Поле палочки слабое. С шара В на шар А уходит небольшое количество электронов, меньшее, чем его первоначальный избыток. В результате шар В останется заряженным отрицательно, хотя и с меньшим по модулю зарядом, чем был изначально.
2. Расстояние ВС имеет определенное среднее значение. Поле палочки таково, что с шара В уходит ровно столько электронов, сколько составляло его первоначальный избыток. В этом случае шар В станет электрически нейтральным ($q_B' = 0$).
3. Расстояние ВС мало. Поле палочки очень сильное. Оно отталкивает с шара В не только все избыточные электроны, но и часть свободных электронов, принадлежавших нейтральным атомам металла. В результате на шаре В возникает недостаток электронов, и он приобретает положительный заряд ($q_B' > 0$).

Ответ: Заряд шара В определяется степенью влияния палочки С, которая зависит от расстояния ВС. При слабом влиянии (большое расстояние) шар В останется отрицательным, при определенном среднем влиянии станет нейтральным, а при сильном влиянии (малое расстояние) — положительным.

718. Металлическому шару радиусом 3 см сообщили заряд 16 нКл. Найти поверхностную плотность заряда и напряжённость поля в точках, удалённых от центра шара на 2 и 4 см.

Дано:

Радиус металлического шара $R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
Заряд шара $q = 16 \text{ нКл} = 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Расстояние от центра до первой точки $r_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Расстояние от центра до второй точки $r_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона) $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

1. Поверхностную плотность заряда $\sigma$
2. Напряжённость поля в точке на расстоянии $r_1$ от центра, $E_1$
3. Напряжённость поля в точке на расстоянии $r_2$ от центра, $E_2$

Решение:

Поверхностная плотность заряда

Поверхностная плотность заряда $\sigma$ — это отношение заряда $q$, сообщенного шару, к площади его поверхности $S$.

$\sigma = \frac{q}{S}$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S = 4\pi R^2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$S = 4\pi (0.03 \text{ м})^2 = 4\pi \cdot 0.0009 \text{ м}^2 \approx 0.0113 \text{ м}^2$

Теперь найдем поверхностную плотность заряда:

$\sigma = \frac{16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{4\pi (0.03 \text{ м})^2} = \frac{16 \cdot 10^{-9}}{0.0113} \approx 1.414 \cdot 10^{-6} \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2}$

Переведем в микрокулоны на квадратный метр ($1 \text{ мкКл} = 10^{-6} \text{ Кл}$):

$\sigma \approx 1.41 \frac{\text{мкКл}}{\text{м}^2}$

Ответ: поверхностная плотность заряда $\sigma \approx 1.41 \text{ мкКл/м}^2$.

Напряжённость поля в точке, удалённой от центра шара на 2 см

Данная точка находится на расстоянии $r_1 = 2 \text{ см}$ от центра шара. Радиус шара $R = 3 \text{ см}$. Так как $r_1 < R$, точка находится внутри металлического шара.

В электростатике известно, что внутри проводника (которым является металлический шар) в состоянии равновесия напряжённость электрического поля равна нулю. Весь сообщенный заряд распределяется по поверхности проводника.

$E_1 = 0 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: напряжённость поля в точке на расстоянии 2 см от центра равна 0 В/м.

Напряжённость поля в точке, удалённой от центра шара на 4 см

Данная точка находится на расстоянии $r_2 = 4 \text{ см}$ от центра шара. Так как $r_2 > R$, точка находится вне шара.

Согласно теореме Гаусса, электрическое поле, создаваемое равномерно заряженной сферической поверхностью (или шаром) на расстоянии $r$ от её центра ($r>R$), эквивалентно полю точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы.

Напряжённость поля вычисляется по формуле:

$E_2 = k \frac{q}{r_2^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$E_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0.04 \text{ м})^2} = \frac{9 \cdot 16}{0.0016} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = \frac{144}{1.6 \cdot 10^{-3}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 90 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E_2 = 90000 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 90 \frac{\text{кН}}{\text{Кл}}$ (или 90 кВ/м).

Ответ: напряжённость поля в точке на расстоянии 4 см от центра равна $90 \text{ кН/Кл}$.

719. Заряженный шар имеет поверхностную плотность заряда $\sigma$. Найти напряжённость $E$ поля в точке, отстоящей от поверхности шара на расстоянии, равном его диаметру.

Дано:

Поверхностная плотность заряда шара: $\sigma$

Расстояние от поверхности шара до точки: $h = D$, где $D$ - диаметр шара.

Найти:

Напряжённость поля $E$ в указанной точке.

Решение:

Напряжённость электрического поля, создаваемого равномерно заряженным шаром на расстоянии $r$ от его центра (при $r$, большем или равном радиусу шара $R$), определяется по той же формуле, что и для точечного заряда, помещённого в центр шара:

$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$

где $q$ – полный заряд шара, а $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

По условию задачи, точка, в которой нужно найти напряжённость, отстоит от поверхности шара на расстояние, равное его диаметру $D$. Если радиус шара равен $R$, то его диаметр $D = 2R$.

Расстояние от центра шара до этой точки $r$ будет равно сумме радиуса шара $R$ и расстояния от его поверхности $h = D = 2R$:

$r = R + h = R + 2R = 3R$

Полный заряд шара $q$ можно выразить через поверхностную плотность заряда $\sigma$ и площадь поверхности шара $S$. По определению, $\sigma = q/S$. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4 \pi R^2$.

Таким образом, полный заряд шара равен:

$q = \sigma \cdot S = \sigma \cdot 4 \pi R^2$

Теперь подставим выражения для $q$ и $r$ в исходную формулу для напряжённости поля:

$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma \cdot 4 \pi R^2}{(3R)^2}$

Упростим полученное выражение:

$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\sigma \cdot 4 \pi R^2}{9R^2}$

Сократим $4\pi$ и $R^2$ в числителе и знаменателе:

$E = \frac{\sigma}{9 \varepsilon_0}$

Ответ: $E = \frac{\sigma}{9 \varepsilon_0}$.