Номер 718, страница 93 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

718. Металлическому шару радиусом 3 см сообщили заряд 16 нКл. Найти поверхностную плотность заряда и напряжённость поля в точках, удалённых от центра шара на 2 и 4 см.

Дано:

Радиус металлического шара $R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
Заряд шара $q = 16 \text{ нКл} = 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Расстояние от центра до первой точки $r_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
Расстояние от центра до второй точки $r_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
Электрическая постоянная (коэффициент в законе Кулона) $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

1. Поверхностную плотность заряда $\sigma$
2. Напряжённость поля в точке на расстоянии $r_1$ от центра, $E_1$
3. Напряжённость поля в точке на расстоянии $r_2$ от центра, $E_2$

Решение:

Поверхностная плотность заряда

Поверхностная плотность заряда $\sigma$ — это отношение заряда $q$, сообщенного шару, к площади его поверхности $S$.

$\sigma = \frac{q}{S}$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

$S = 4\pi R^2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$S = 4\pi (0.03 \text{ м})^2 = 4\pi \cdot 0.0009 \text{ м}^2 \approx 0.0113 \text{ м}^2$

Теперь найдем поверхностную плотность заряда:

$\sigma = \frac{16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{4\pi (0.03 \text{ м})^2} = \frac{16 \cdot 10^{-9}}{0.0113} \approx 1.414 \cdot 10^{-6} \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2}$

Переведем в микрокулоны на квадратный метр ($1 \text{ мкКл} = 10^{-6} \text{ Кл}$):

$\sigma \approx 1.41 \frac{\text{мкКл}}{\text{м}^2}$

Ответ: поверхностная плотность заряда $\sigma \approx 1.41 \text{ мкКл/м}^2$.

Напряжённость поля в точке, удалённой от центра шара на 2 см

Данная точка находится на расстоянии $r_1 = 2 \text{ см}$ от центра шара. Радиус шара $R = 3 \text{ см}$. Так как $r_1 < R$, точка находится внутри металлического шара.

В электростатике известно, что внутри проводника (которым является металлический шар) в состоянии равновесия напряжённость электрического поля равна нулю. Весь сообщенный заряд распределяется по поверхности проводника.

$E_1 = 0 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Ответ: напряжённость поля в точке на расстоянии 2 см от центра равна 0 В/м.

Напряжённость поля в точке, удалённой от центра шара на 4 см

Данная точка находится на расстоянии $r_2 = 4 \text{ см}$ от центра шара. Так как $r_2 > R$, точка находится вне шара.

Согласно теореме Гаусса, электрическое поле, создаваемое равномерно заряженной сферической поверхностью (или шаром) на расстоянии $r$ от её центра ($r>R$), эквивалентно полю точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы.

Напряжённость поля вычисляется по формуле:

$E_2 = k \frac{q}{r_2^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$E_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0.04 \text{ м})^2} = \frac{9 \cdot 16}{0.0016} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = \frac{144}{1.6 \cdot 10^{-3}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 90 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E_2 = 90000 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 90 \frac{\text{кН}}{\text{Кл}}$ (или 90 кВ/м).

Ответ: напряжённость поля в точке на расстоянии 4 см от центра равна $90 \text{ кН/Кл}$.