Страница 96 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

737. Какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд 5 мкКл из бесконечности в точку поля, удалённую от центра заряженного шара на 18 см? Заряд шара 20 мкКл.

Дано:

$q = 5 \text{ мкКл} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$Q = 20 \text{ мкКл} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$r = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$
$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$A$

Решение:

Работа $A$, которую надо совершить, чтобы перенести заряд $q$ из начальной точки 1 в конечную точку 2 электростатического поля, равна изменению потенциальной энергии заряда, что выражается через разность потенциалов $(\varphi_2 - \varphi_1)$:

$A = q(\varphi_2 - \varphi_1)$

В условии задачи заряд переносится из бесконечности, где потенциал по определению равен нулю $(\varphi_1 = \varphi_{\infty} = 0)$, в точку поля, находящуюся на расстоянии $r$ от центра заряженного шара.

Следовательно, работа равна произведению переносимого заряда на потенциал поля в конечной точке:

$A = q \varphi_2$

Электростатическое поле, создаваемое равномерно заряженным шаром с зарядом $Q$ на расстоянии $r$ от его центра (при $r$, большем или равном радиусу шара), эквивалентно полю точечного заряда $Q$, помещенного в центр шара. Потенциал такого поля вычисляется по формуле:

$\varphi_2 = k \frac{Q}{r}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Объединив формулы, получим выражение для работы:

$A = q \cdot \left( k \frac{Q}{r} \right) = k \frac{qQ}{r}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и выполним вычисления:

$A = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{(5 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (20 \cdot 10^{-6} \text{ Кл})}{0.18 \text{ м}}$

$A = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 100 \cdot 10^{-12}}{0.18} \text{ Дж} = \frac{9 \cdot 10^{-1}}{0.18} \text{ Дж} = \frac{0.9}{0.18} \text{ Дж} = 5 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы перенести заряд, надо совершить работу 5 Дж.

738. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его скорость увеличилась от 10 до 30 Мм/с?

Дано:

Перевод в СИ:

Найти:

Разность потенциалов $U$.

Решение:

Когда электрон проходит через разность потенциалов, электрическое поле совершает над ним работу $A$. Эта работа идет на изменение кинетической энергии электрона $\Delta E_k$. По теореме о кинетической энергии:

$A = \Delta E_k$

Работа электрического поля при перемещении заряда $e$ в поле с разностью потенциалов $U$ вычисляется по формуле:

$A = eU$

Изменение кинетической энергии равно разности конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Поскольку скорости электрона ($v_1$ и $v_2$) значительно меньше скорости света, для вычисления кинетической энергии можно использовать классическую (нерелятивистскую) формулу:

$E_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Тогда изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = \frac{m_e v_2^2}{2} - \frac{m_e v_1^2}{2} = \frac{m_e (v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Приравнивая выражения для работы и изменения кинетической энергии, получаем:

$eU = \frac{m_e (v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Из этого уравнения выражаем искомую разность потенциалов $U$:

$U = \frac{m_e (v_2^2 - v_1^2)}{2e}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$U = \frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \cdot ((3 \times 10^7 \text{ м/с})^2 - (1 \times 10^7 \text{ м/с})^2)}{2 \cdot 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$

$U = \frac{9.11 \times 10^{-31} \cdot (9 \times 10^{14} - 1 \times 10^{14})}{3.204 \times 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{9.11 \times 10^{-31} \cdot 8 \times 10^{14}}{3.204 \times 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{72.88 \times 10^{-17}}{3.204 \times 10^{-19}} \text{ В} \approx 2275 \text{ В}$

С учетом точности исходных данных (две значащие цифры), результат следует округлить.

$U \approx 2.3 \times 10^3 \text{ В} = 2.3 \text{ кВ}$

Ответ: $U \approx 2.3 \text{ кВ}$.

739. $\alpha$-Частица ($m = 6,7 \cdot 10^{-27}$ кг, $q = 3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл) вылетает из ядра радия со скоростью $v = 20 \text{ Мм/с}$ и попадает в тормозящее однородное электрическое поле, линии напряжённости которого направлены противоположно направлению движения частицы. Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки?

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения этой задачи применим теорему об изменении кинетической энергии. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряженной частицы, равна изменению ее кинетической энергии.

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Работа $A$ однородного электрического поля по перемещению заряда $q$ на участке с разностью потенциалов $U$ определяется формулой:

$A = qU$

Начальная кинетическая энергия α-частицы равна:

$E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2}$

Поскольку α-частица в итоге останавливается, ее конечная скорость $v_k = 0$, и, следовательно, конечная кинетическая энергия $E_{k2}$ также равна нулю.

$E_{k2} = 0$

Так как поле тормозящее, оно совершает отрицательную работу, и кинетическая энергия частицы уменьшается. Изменение кинетической энергии будет:

$\Delta E_k = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$

Приравняем работу поля к изменению кинетической энергии. Однако, чтобы избежать путаницы со знаками, удобнее использовать закон сохранения энергии. Полная энергия системы (частица + поле) сохраняется. Уменьшение кинетической энергии частицы равно увеличению ее потенциальной энергии:

$\Delta E_k + \Delta E_p = 0 \implies \Delta E_p = -\Delta E_k$

Изменение потенциальной энергии равно $ \Delta E_p = qU $.

Следовательно:

$qU = -(-\frac{mv_0^2}{2}) = \frac{mv_0^2}{2}$

Из этого соотношения выразим искомую разность потенциалов $U$:

$U = \frac{mv_0^2}{2q}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$U = \frac{(6,7 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})}$

$U = \frac{6,7 \cdot 10^{-27} \cdot 4 \cdot 10^{14}}{6,4 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{26,8 \cdot 10^{-13}}{6,4 \cdot 10^{-19}} \text{ В} = \frac{26,8}{6,4} \cdot 10^6 \text{ В} \approx 4,1875 \cdot 10^6 \text{ В}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую же точность:

$U \approx 4,2 \cdot 10^6 \text{ В} = 4,2 \text{ МВ}$

Ответ: разность потенциалов, которую должна пройти частица до остановки, составляет $4,2 \cdot 10^6$ В или 4,2 МВ.

740. Сравнить кинетические энергии и приобретённые скорости протона и $ \alpha $ -частицы, которые прошли одинаковые ускоряющие разности потенциалов. Масса $ \alpha $ -частицы в 4 раза больше массы протона, а заряд — в 2 раза больше.

Дано:

Найти:

Решение:

Когда заряженная частица с зарядом $q$ проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, работа электрического поля $A = qU$ переходит в кинетическую энергию частицы (при условии, что начальная скорость равна нулю). Таким образом, приобретенная кинетическая энергия $E_k$ равна:

$E_k = qU$

Сравнение кинетических энергий

Для протона кинетическая энергия равна:

$E_{kp} = q_p U$

Для $\alpha$-частицы кинетическая энергия равна:

$E_{k\alpha} = q_\alpha U$

Найдем отношение их кинетических энергий, чтобы сравнить их:

$\frac{E_{k\alpha}}{E_{kp}} = \frac{q_\alpha U}{q_p U} = \frac{q_\alpha}{q_p}$

Используя данное в условии соотношение зарядов $q_\alpha = 2q_p$, получаем:

$\frac{E_{k\alpha}}{E_{kp}} = \frac{2q_p}{q_p} = 2$

Следовательно, кинетическая энергия $\alpha$-частицы в 2 раза больше кинетической энергии протона.

Ответ: Кинетическая энергия $\alpha$-частицы в 2 раза больше кинетической энергии протона ($E_{k\alpha} = 2E_{kp}$).

Сравнение приобретённых скоростей

Кинетическая энергия частицы с массой $m$, движущейся со скоростью $v$, определяется формулой $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Так как мы уже знаем, что $E_k = qU$, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{1}{2}mv^2 = qU$

Из этого уравнения можно выразить скорость частицы:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Теперь запишем выражения для скоростей протона ($v_p$) и $\alpha$-частицы ($v_\alpha$):

$v_p = \sqrt{\frac{2q_p U}{m_p}}$

$v_\alpha = \sqrt{\frac{2q_\alpha U}{m_\alpha}}$

Найдем отношение их скоростей:

$\frac{v_\alpha}{v_p} = \frac{\sqrt{\frac{2q_\alpha U}{m_\alpha}}}{\sqrt{\frac{2q_p U}{m_p}}} = \sqrt{\frac{2q_\alpha U}{m_\alpha} \cdot \frac{m_p}{2q_p U}} = \sqrt{\frac{q_\alpha m_p}{q_p m_\alpha}}$

Подставим в это выражение данные из условия соотношения масс ($m_\alpha = 4m_p$) и зарядов ($q_\alpha = 2q_p$):

$\frac{v_\alpha}{v_p} = \sqrt{\frac{2q_p \cdot m_p}{q_p \cdot 4m_p}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это соотношение показывает, что $v_p = v_\alpha\sqrt{2}$. Таким образом, скорость протона в $\sqrt{2}$ раз больше скорости $\alpha$-частицы.

Ответ: Скорость протона в $\sqrt{2}$ раз больше скорости $\alpha$-частицы ($v_p = \sqrt{2} \cdot v_\alpha$).

741. Напряжение между двумя точками, лежащими на одной линии напряжённости однородного электрического поля, равно 2 кВ. Расстояние между этими точками 10 см. Какова напряжённость поля?

Дано:

Напряжение $U = 2 \text{ кВ} = 2 \cdot 10^3 \text{ В}$

Расстояние $d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Напряженность поля $E$

Решение:

Для однородного электрического поля связь между напряжением (разностью потенциалов) $U$ между двумя точками и напряженностью поля $E$ выражается формулой:

$U = E \cdot d$

где $d$ — расстояние между точками, измеренное вдоль силовой линии.

Из этой формулы выразим напряженность поля $E$:

$E = \frac{U}{d}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$E = \frac{2 \cdot 10^3 \text{ В}}{0.1 \text{ м}} = 20 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 20000 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Результат также можно выразить в киловольтах на метр (кВ/м):

$20000 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 20 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$

Ответ: напряженность поля равна $20000 \text{ В/м}$ или $20 \text{ кВ/м}$.

742. Точка A лежит на линии напряжённости однородного поля, напряжённость которого 60 кВ/м. Найти разность потенциалов между этой точкой и точкой B, расположенной в 10 см от точки A. Рассмотреть случаи, когда точки A и B лежат:

а) на одной линии напряжённости;

б) на прямой, перпендикулярной линии напряжённости;

в) на прямой, направленной под углом $45^{\circ}$ к линиям напряжённости.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Разность потенциалов $\Delta\varphi$ между двумя точками в однородном электрическом поле связана с напряженностью поля $E$ и расстоянием между точками $d$ по формуле:

$\Delta\varphi = E \cdot d \cdot \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между вектором напряженности $\vec{E}$ и вектором перемещения $\vec{d}$, соединяющим точки А и В.

а) точки А и В лежат на одной линии напряженности

В этом случае вектор перемещения $\vec{d}$ из одной точки в другую сонаправлен с вектором напряженности поля $\vec{E}$ (или направлен в противоположную сторону). Для нахождения разности потенциалов (модуля) будем считать, что перемещение происходит вдоль линии напряженности, поэтому угол $\alpha = 0^\circ$. Косинус этого угла равен $\cos(0^\circ) = 1$.

$\Delta\varphi_a = E \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = E \cdot d$

Подставим числовые значения:

$\Delta\varphi_a = 60000 \text{ В/м} \cdot 0.1 \text{ м} = 6000 \text{ В} = 6 \text{ кВ}$

Ответ: 6000 В или 6 кВ.

б) на прямой, перпендикулярной линии напряженности

В этом случае вектор перемещения $\vec{d}$ перпендикулярен вектору напряженности $\vec{E}$. Угол между ними $\alpha = 90^\circ$. Косинус этого угла равен $\cos(90^\circ) = 0$.

$\Delta\varphi_б = E \cdot d \cdot \cos(90^\circ) = E \cdot d \cdot 0 = 0 \text{ В}$

Это означает, что точки А и В лежат на одной эквипотенциальной поверхности, и потенциалы в этих точках одинаковы.

Ответ: 0 В.

в) на прямой, направленной под углом 45° к линиям напряженности

В этом случае угол между вектором перемещения $\vec{d}$ и вектором напряженности $\vec{E}$ составляет $\alpha = 45^\circ$. Косинус этого угла равен $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$.

$\Delta\varphi_в = E \cdot d \cdot \cos(45^\circ)$

Подставим числовые значения:

$\Delta\varphi_в = 60000 \text{ В/м} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6000 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3000\sqrt{2} \text{ В}$

Вычислим приближенное значение:

$\Delta\varphi_в \approx 3000 \cdot 1.414 = 4242 \text{ В} \approx 4.24 \text{ кВ}$

Ответ: $3000\sqrt{2}$ В, что примерно равно 4242 В или 4,24 кВ.

743. Найти напряжение между точками А и В (рис. 76), если $AB = 8$ см, $\alpha = 30^\circ$ и напряжённость поля $E = 50$ кВ/м.

Рис. 76

Дано:

$AB = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$\alpha = 30^\circ$
$E = 50 \text{ кВ/м} = 50 \cdot 10^3 \text{ В/м}$

Найти:

$U$

Решение:

Напряжение (разность потенциалов) $U$ между двумя точками в однородном электрическом поле определяется формулой:

$U = E \cdot d$

где $E$ — напряженность электрического поля, а $d$ — расстояние между точками вдоль силовых линий поля.

Из рисунка видно, что отрезок $AB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а расстояние $d$ — катетом, прилежащим к углу $\alpha$. Таким образом, $d$ является проекцией отрезка $AB$ на направление вектора напряженности $\vec{E}$.

Это расстояние можно найти из тригонометрических соображений:

$d = AB \cdot \cos(\alpha)$

Подставив это выражение в основную формулу для напряжения, получим:

$U = E \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$

Подставим числовые значения из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$U = (50 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}}) \cdot (0.08 \text{ м}) \cdot \cos(30^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$U = 50000 \cdot 0.08 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2000\sqrt{3} \text{ В}$

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$U \approx 2000 \cdot 1.732 = 3464 \text{ В}$

Ответ: напряжение между точками А и В составляет $2000\sqrt{3} \text{ В}$, что приблизительно равно $3464 \text{ В}$.

744. Между двумя пластинами, расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 4,8 мм друг от друга, находится в равновесии отрицательно заряженная капелька масла массой 10 нг. Сколько «избыточных» электронов имеет капелька, если на пластины подано напряжение 1 кВ?

Дано:

Расстояние между пластинами, $d = 4.8 \text{ мм} = 4.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
Масса капельки масла, $m = 10 \text{ нг} = 10 \cdot 10^{-9} \text{ г} = 10 \cdot 10^{-12} \text{ кг}$
Напряжение между пластинами, $U = 1 \text{ кВ} = 1000 \text{ В} = 10^3 \text{ В}$
Элементарный заряд (модуль заряда электрона), $e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$N$ - количество «избыточных» электронов.

Решение:

Согласно условию задачи, отрицательно заряженная капелька масла находится в равновесии. Это означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к капельке, равна нулю. На капельку в поле между пластинами действуют две силы:

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз.

2. Электрическая сила $F_e$, действующая со стороны электрического поля.

Для того чтобы капелька находилась в равновесии, электрическая сила должна быть равна по модулю силе тяжести и направлена в противоположную сторону, то есть вертикально вверх.

Условие равновесия можно записать в виде: $F_e = F_g$

Сила тяжести вычисляется по формуле: $F_g = mg$

Электрическая сила, действующая на заряд $q$ в однородном электрическом поле с напряженностью $E$, равна: $F_e = |q|E$

Поскольку капелька заряжена отрицательно ($q < 0$), а электрическая сила $F_e$ направлена вверх, вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ должен быть направлен вниз (так как $\vec{F_e} = q\vec{E}$).

Напряженность однородного электрического поля между двумя параллельными пластинами связана с напряжением (разностью потенциалов) $U$ и расстоянием $d$ между ними соотношением: $E = \frac{U}{d}$

Подставим выражения для сил в условие равновесия: $|q| \frac{U}{d} = mg$

Заряд капельки $q$ является кратным элементарному заряду $e$. Так как капелька имеет «избыточные» электроны, ее заряд равен $q = -N \cdot e$, где $N$ - количество этих электронов. Модуль заряда капельки: $|q| = N \cdot e$

Подставим это выражение в наше уравнение равновесия: $N \cdot e \frac{U}{d} = mg$

Из этой формулы выразим искомое количество электронов $N$: $N = \frac{mgd}{eU}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ и произведем расчет: $N = \frac{(10 \cdot 10^{-12} \text{ кг}) \cdot (9.8 \text{ м/с}^2) \cdot (4.8 \cdot 10^{-3} \text{ м})}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (10^3 \text{ В})}$

$N = \frac{10 \cdot 9.8 \cdot 4.8}{1.6} \cdot \frac{10^{-12} \cdot 10^{-3}}{10^{-19} \cdot 10^3} = \frac{470.4}{1.6} \cdot \frac{10^{-15}}{10^{-16}} = 294 \cdot 10^1 = 2940$

Таким образом, капелька масла имеет 2940 «избыточных» электронов.

Ответ: 2940.

745. К заряженному шару поднесли руку. Будет ли одинаковой поверхностная плотность заряда в различных местах шара; напряжённость поля вблизи разных участков поверхности шара? Будут ли одинаковы потенциалы в различных точках поверхности шара?

Будет ли одинаковой поверхностная плотность заряда в различных местах шара

Нет, поверхностная плотность заряда не будет одинаковой. Когда к заряженному проводящему шару подносят руку (которая также является проводником), происходит явление электростатической индукции. Под действием поля шара на поверхности руки, обращенной к шару, индуцируется заряд противоположного знака. Этот индуцированный заряд притягивает к себе заряды на шаре.

В результате этого взаимодействия заряды на поверхности шара перераспределяются: их концентрация увеличивается на стороне, обращенной к руке, и уменьшается на противоположной стороне. Следовательно, поверхностная плотность заряда $\sigma$ становится неоднородной.

Ответ: нет, поверхностная плотность заряда не будет одинаковой. Она будет больше на стороне шара, ближайшей к руке, и меньше на противоположной стороне.

Будет ли одинаковой напряжённость поля вблизи разных участков поверхности шара

Нет, напряженность поля также не будет одинаковой. Напряженность электрического поля $E$ в непосредственной близости от поверхности проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности заряда $\sigma$ в этой точке. Эта зависимость выражается формулой $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, где $\varepsilon_0$ — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Поскольку поверхностная плотность заряда на шаре становится неоднородной, то и напряженность электрического поля вблизи его поверхности будет различной. Там, где плотность заряда больше (на стороне, обращенной к руке), напряженность поля будет выше. Там, где плотность заряда меньше (на дальней стороне), напряженность поля будет ниже.

Ответ: нет, напряженность поля вблизи разных участков поверхности шара не будет одинаковой. Поле будет сильнее со стороны, обращенной к руке, и слабее с противоположной стороны.

Будет ли одинаковы потенциалы в различных точках поверхности шара

Да, потенциалы во всех точках поверхности шара будут одинаковы. Проводящий шар, находящийся в состоянии электростатического равновесия, является эквипотенциальным телом. Это означает, что потенциал во всех точках на его поверхности (и внутри него) одинаков.

Если бы между какими-либо точками поверхности существовала разность потенциалов, то свободные заряды внутри проводника начали бы двигаться под действием электрического поля, создавая ток. Это движение прекращается только тогда, когда потенциал во всех точках проводника выравнивается. Таким образом, несмотря на неоднородное распределение заряда и напряженности поля, поверхность шара остается эквипотенциальной.

Ответ: да, потенциалы в различных точках поверхности шара будут одинаковы, так как поверхность проводника в состоянии равновесия всегда является эквипотенциальной.