Страница 102 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

785. Электрическую лампу сопротивлением 240 Ом, рассчитанную на напряжение 120 В, надо питать от сети напряжением 220 В. Какой длины нихромовый проводник с площадью поперечного сечения 0,55 $\text{мм}^2$ надо включить последовательно с лампой?

Дано:

Сопротивление лампы $R_л = 240$ Ом

Номинальное напряжение лампы $U_л = 120$ В

Напряжение сети $U_{сети} = 220$ В

Площадь поперечного сечения нихромового проводника $S = 0,55 \text{ мм}^2$

Удельное сопротивление нихрома (справочное значение) $\rho = 1,1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Перевод в систему СИ:
$S = 0,55 \text{ мм}^2 = 0,55 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,55 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$\rho = 1,1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} = 1,1 \frac{Ом \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{м} = 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину нихромового проводника $l$.

Решение:

Чтобы лампа работала в номинальном режиме, через нее должен протекать ток, определяемый по закону Ома для участка цепи:

$I = \frac{U_л}{R_л}$

Подставим значения:

$I = \frac{120 \text{ В}}{240 \text{ Ом}} = 0,5 \text{ А}$

Для того чтобы лампа, рассчитанная на напряжение 120 В, могла работать от сети с напряжением 220 В, необходимо последовательно с ней включить дополнительное сопротивление (нихромовый проводник), которое "погасит" избыточное напряжение.

Поскольку лампа и проводник соединены последовательно, ток, протекающий через них, одинаков и равен $I = 0,5 \text{ А}$.

При последовательном соединении общее напряжение в цепи равно сумме напряжений на каждом элементе:

$U_{сети} = U_л + U_п$

где $U_п$ – напряжение на нихромовом проводнике.

Найдем падение напряжения на проводнике:

$U_п = U_{сети} - U_л = 220 \text{ В} - 120 \text{ В} = 100 \text{ В}$

Теперь, зная ток через проводник и напряжение на нем, можем найти его сопротивление $R_п$ по закону Ома:

$R_п = \frac{U_п}{I} = \frac{100 \text{ В}}{0,5 \text{ А}} = 200 \text{ Ом}$

Сопротивление проводника также связано с его геометрическими размерами и материалом формулой:

$R_п = \rho \frac{l}{S}$

Выразим из этой формулы искомую длину проводника $l$:

$l = \frac{R_п \cdot S}{\rho}$

Подставим числовые значения. Для удобства расчетов будем использовать удельное сопротивление и площадь в внесистемных единицах ($\frac{Ом \cdot мм^2}{м}$ и $мм^2$), так как они сокращаются:

$l = \frac{200 \text{ Ом} \cdot 0,55 \text{ мм}^2}{1,1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}} = \frac{110}{1,1} \text{ м} = 100 \text{ м}$

Ответ: для питания лампы от сети необходимо последовательно с ней включить нихромовый проводник длиной 100 м.

786. От источника напряжением $45 \text{ В}$ необходимо питать нагревательную спираль сопротивлением $20 \text{ Ом}$, рассчитанную на напряжение $30 \text{ В}$. Имеются три реостата, на которых написано:

а) $6 \text{ Ом}$, $2 \text{ А}$;

б) $30 \text{ Ом}$, $4 \text{ А}$;

в) $800 \text{ Ом}$, $0,6 \text{ А}$.

Какой из реостатов надо взять?

Дано:

Напряжение источника: $U_{ист} = 45 \text{ В}$

Сопротивление нагревательной спирали: $R_{с} = 20 \text{ Ом}$

Номинальное напряжение спирали: $U_{с} = 30 \text{ В}$

Параметры реостатов:

а) $R_{макс,а} = 6 \text{ Ом}$, $I_{макс,а} = 2 \text{ А}$

б) $R_{макс,б} = 30 \text{ Ом}$, $I_{макс,б} = 4 \text{ А}$

в) $R_{макс,в} = 800 \text{ Ом}$, $I_{макс,в} = 0,6 \text{ А}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Какой из реостатов следует выбрать.

Решение:

Для того чтобы на нагревательной спирали, рассчитанной на напряжение $U_с = 30 \text{ В}$, было именно это напряжение при подключении к источнику с напряжением $U_{ист} = 45 \text{ В}$, необходимо последовательно со спиралью подключить дополнительное сопротивление (реостат). Реостат "погасит" избыточное напряжение.

1. Сначала определим ток, который должен протекать через спираль для ее нормальной работы. Согласно закону Ома, этот ток равен:

$I = \frac{U_с}{R_с} = \frac{30 \text{ В}}{20 \text{ Ом}} = 1.5 \text{ А}$

Поскольку соединение последовательное, такой же ток будет протекать и через реостат.

2. Найдем падение напряжения, которое должно быть на реостате ($U_р$). При последовательном соединении напряжение источника равно сумме падений напряжений на всех элементах цепи:

$U_{ист} = U_с + U_р$

Отсюда находим напряжение на реостате:

$U_р = U_{ист} - U_с = 45 \text{ В} - 30 \text{ В} = 15 \text{ В}$

3. Теперь можно вычислить необходимое сопротивление реостата ($R_р$), используя закон Ома для участка цепи с реостатом:

$R_р = \frac{U_р}{I} = \frac{15 \text{ В}}{1.5 \text{ А}} = 10 \text{ Ом}$

Для выбора подходящего реостата необходимо проверить два условия:

1. Максимально допустимый ток реостата должен быть не меньше рабочего тока в цепи ($I \le I_{макс}$).
2. Максимальное сопротивление реостата должно быть не меньше требуемого сопротивления, чтобы его можно было выставить ($R_р \le R_{макс}$).

Проанализируем каждый из предложенных реостатов на соответствие этим условиям ($I = 1.5 \text{ А}$, $R_р = 10 \text{ Ом}$).

а) 6 Ом, 2 А

Проверка по току: $1.5 \text{ А} \le 2 \text{ А}$. Условие выполняется.

Проверка по сопротивлению: требуемое сопротивление $10 \text{ Ом}$, а максимальное у реостата - $6 \text{ Ом}$. Условие $10 \text{ Ом} \le 6 \text{ Ом}$ не выполняется. Этот реостат не сможет обеспечить нужное сопротивление.

Ответ: реостат а) не подходит.

б) 30 Ом, 4 А

Проверка по току: $1.5 \text{ А} \le 4 \text{ А}$. Условие выполняется.

Проверка по сопротивлению: требуемое сопротивление $10 \text{ Ом}$, а максимальное у реостата - $30 \text{ Ом}$. Условие $10 \text{ Ом} \le 30 \text{ Ом}$ выполняется. Этот реостат позволяет выставить нужное сопротивление и выдержит рабочий ток.

Ответ: реостат б) подходит.

в) 800 Ом, 0,6 А

Проверка по току: $1.5 \text{ А} > 0.6 \text{ А}$. Условие не выполняется. Рабочий ток в цепи превышает максимально допустимый для этого реостата, поэтому он перегорит.

Ответ: реостат в) не подходит.

Таким образом, единственный подходящий вариант - это реостат б).

787. Кабель состоит из двух стальных жил площадью поперечного сечения $0,6 \text{ мм}^2$ каждая и четырёх медных жил площадью поперечного сечения $0,85 \text{ мм}^2$ каждая. Каково падение напряжения на каждом километре кабеля при силе тока 0,1 А?

Дано:

Количество стальных жил, $n_с = 2$
Площадь поперечного сечения одной стальной жилы, $S_с = 0,6 \, \text{мм}^2$
Количество медных жил, $n_м = 4$
Площадь поперечного сечения одной медной жилы, $S_м = 0,85 \, \text{мм}^2$
Длина кабеля, $l = 1 \, \text{км}$
Сила тока, $I = 0,1 \, \text{А}$
Удельное сопротивление стали (справочное значение), $\rho_с \approx 0,12 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$
Удельное сопротивление меди (справочное значение), $\rho_м \approx 0,017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Найти:

Падение напряжения, $U$.

Решение:

Все жилы в кабеле соединены параллельно, так как они образуют единый проводник для тока. Общее сопротивление кабеля $R_{каб}$ можно найти, зная, что проводимость (величина, обратная сопротивлению) параллельно соединенных проводников складывается. Проводимость всего кабеля равна сумме проводимостей стальной и медной частей.

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Вычислим сопротивление стальной и медной частей кабеля. Для этого сначала найдем их общие площади поперечного сечения.

Общая площадь сечения двух стальных жил:

$S_{с,общ} = n_с \cdot S_с = 2 \cdot 0,6 \, \text{мм}^2 = 1,2 \, \text{мм}^2$

Общая площадь сечения четырех медных жил:

$S_{м,общ} = n_м \cdot S_м = 4 \cdot 0,85 \, \text{мм}^2 = 3,4 \, \text{мм}^2$

Теперь рассчитаем сопротивление каждой части кабеля, используя длину $l = 1000 \, \text{м}$ и удельные сопротивления в единицах $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ для удобства вычислений.

Сопротивление стальной части:

$R_с = \rho_с \frac{l}{S_{с,общ}} = 0,12 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{1,2 \, \text{мм}^2} = 100 \, \text{Ом}$

Сопротивление медной части:

$R_м = \rho_м \frac{l}{S_{м,общ}} = 0,017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3,4 \, \text{мм}^2} = 5 \, \text{Ом}$

Поскольку стальная и медная части соединены параллельно, общее сопротивление кабеля $R_{каб}$ найдем по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{каб}} = \frac{1}{R_с} + \frac{1}{R_м}$

Подставляем вычисленные значения:

$\frac{1}{R_{каб}} = \frac{1}{100 \, \text{Ом}} + \frac{1}{5 \, \text{Ом}} = \frac{1 + 20}{100} \, \text{Ом}^{-1} = \frac{21}{100} \, \text{Ом}^{-1}$

Отсюда общее сопротивление кабеля:

$R_{каб} = \frac{100}{21} \, \text{Ом} \approx 4,762 \, \text{Ом}$

Падение напряжения на кабеле (разность потенциалов на его концах) найдем по закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R_{каб}$

$U = 0,1 \, \text{А} \cdot \frac{100}{21} \, \text{Ом} = \frac{10}{21} \, \text{В} \approx 0,476 \, \text{В}$

Округлив результат до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $0,48 \, \text{В}$.

Ответ: падение напряжения на каждом километре кабеля составляет приблизительно $0,48 \, \text{В}$.

788. Определяя сопротивление лампочки карманного фонаря, учащийся ошибочно составил цепь, схема которой представлена на рисунке 81. Описать режим работы этой цепи и указать, какими приблизительно будут показания приборов, если напряжение на полюсах источника тока $2 \text{ В}$.

Рис. 81

Дано:

Напряжение на полюсах источника тока $U = 2$ В

Найти:

Режим работы цепи, показания вольтметра $U_V$, показания амперметра $I_A$.

Решение:

В предложенной схеме допущена ошибка при подключении измерительных приборов. Правила подключения требуют, чтобы амперметр включался в цепь последовательно, а вольтметр — параллельно участку цепи. В данной схеме все сделано наоборот.

Режим работы цепи

Во-первых, вольтметр, обладающий очень большим внутренним сопротивлением ($R_V \to \infty$), включен в цепь последовательно. Это приводит к тому, что общее сопротивление всей цепи становится очень большим и практически равным сопротивлению вольтметра ($R_{общ} \approx R_V$). Из-за этого общий ток в цепи, согласно закону Ома $I = U/R_{общ}$, будет ничтожно мал.

Во-вторых, амперметр, обладающий очень малым внутренним сопротивлением ($R_A \approx 0$), включен параллельно лампочке. Такое подключение называется шунтированием. Поскольку сопротивление амперметра ничтожно мало по сравнению с сопротивлением лампочки, почти весь ток, доходящий до этого узла, потечет через амперметр, а не через лампочку. Это эквивалентно короткому замыканию для лампочки.

Таким образом, режим работы цепи следующий: лампочка гореть не будет, так как она закорочена амперметром, а общий ток в цепи крайне мал из-за последовательно включенного вольтметра.

Приблизительные показания приборов

Показания вольтметра. Вольтметр измеряет падение напряжения на своих клеммах. Так как он включен последовательно с участком, общее сопротивление которого близко к нулю (параллельное соединение лампы и амперметра), почти всё напряжение источника питания будет падать именно на вольтметре. Следовательно, вольтметр покажет напряжение, близкое к напряжению источника.

$U_V \approx U = 2$ В.

Показания амперметра. Амперметр измеряет силу тока, протекающего через него. Как было установлено, через него протекает практически весь ток цепи, который очень мал из-за огромного сопротивления вольтметра.

$I_A \approx I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} \approx \frac{U}{R_V}$.

Если принять внутреннее сопротивление вольтметра равным, например, $R_V = 2$ МОм = $2 \cdot 10^6$ Ом, то сила тока будет:

$I_A \approx \frac{2 \text{ В}}{2 \cdot 10^6 \text{ Ом}} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ А} = 1$ мкА.

Такой ток является очень малым и на шкале стандартного учебного амперметра будет практически неотличим от нуля.

Ответ: Режим работы цепи: лампочка не горит, так как она зашунтирована (закорочена) амперметром. Общий ток в цепи ничтожно мал из-за последовательного включения вольтметра, обладающего очень большим сопротивлением. Приблизительные показания приборов: вольтметр покажет напряжение, близкое к напряжению источника тока, то есть $U_V \approx 2$ В; амперметр покажет ток, близкий к нулю, $I_A \approx 0$ А.

789. На школьном демонстрационном гальванометре (от амперметра) указаны сопротивление прибора 385 Ом и сила тока, вызывающая отклонение стрелки на одно деление, $3.8 \cdot 10^{-5}$ А/дел. Вся шкала имеет 10 делений. Каковы сопротивления приложенных двух шунтов, делающих прибор амперметром с пределами измерения 3 и 10 А?

Дано:

Сопротивление гальванометра $R_g = 385$ Ом

Сила тока на одно деление $i_0 = 3,8 \cdot 10^{-5}$ А/дел

Число делений шкалы $N = 10$

Требуемый предел измерения 1: $I_1 = 3$ А

Требуемый предел измерения 2: $I_2 = 10$ А

Найти:

Сопротивление первого шунта $R_{sh1}$

Сопротивление второго шунта $R_{sh2}$

Решение:

Чтобы превратить гальванометр в амперметр с заданным пределом измерения, необходимо параллельно ему подключить резистор, называемый шунтом. Шунт позволяет большей части измеряемого тока проходить мимо гальванометра, защищая его от перегрузки.

1. Сначала найдем максимальный ток $I_g$, который может протекать через гальванометр, не выводя стрелку за пределы шкалы. Этот ток соответствует отклонению стрелки на все 10 делений.

$I_g = i_0 \cdot N = 3,8 \cdot 10^{-5} \text{ А/дел} \cdot 10 \text{ дел} = 3,8 \cdot 10^{-4}$ А

2. Когда шунт с сопротивлением $R_{sh}$ подключен параллельно гальванометру, измеряемый ток $I$ разветвляется. Через гальванометр течет ток $I_g$, а через шунт — ток $I_{sh}$. По первому правилу Кирхгофа:

$I = I_g + I_{sh}$

Так как гальванометр и шунт соединены параллельно, падение напряжения на них одинаково:

$U_g = U_{sh}$

По закону Ома, $U = I \cdot R$, следовательно:

$I_g \cdot R_g = I_{sh} \cdot R_{sh}$

Из первого уравнения выразим ток через шунт: $I_{sh} = I - I_g$. Подставим это выражение в уравнение для напряжений:

$I_g \cdot R_g = (I - I_g) \cdot R_{sh}$

Отсюда получим общую формулу для расчета сопротивления шунта:

$R_{sh} = \frac{I_g \cdot R_g}{I - I_g}$

3. Теперь рассчитаем сопротивления для двух заданных случаев.

Для амперметра с пределом измерения 3 А:

Подставим значения в формулу, где $I = I_1 = 3$ А:

$R_{sh1} = \frac{3,8 \cdot 10^{-4} \text{ А} \cdot 385 \text{ Ом}}{3 \text{ А} - 3,8 \cdot 10^{-4} \text{ А}} = \frac{0,1463}{2,99962} \approx 0,04877$ Ом

Для амперметра с пределом измерения 10 А:

Подставим значения в формулу, где $I = I_2 = 10$ А:

$R_{sh2} = \frac{3,8 \cdot 10^{-4} \text{ А} \cdot 385 \text{ Ом}}{10 \text{ А} - 3,8 \cdot 10^{-4} \text{ А}} = \frac{0,1463}{9,99962} \approx 0,01463$ Ом

Ответ: для создания амперметра с пределом измерения 3 А необходимо использовать шунт сопротивлением $\approx 0,049$ Ом, а для предела измерения 10 А — шунт сопротивлением $\approx 0,015$ Ом.

790. На школьном гальванометре (от вольтметра) указаны сопротивление прибора 2,3 Ом и напряжение, которое надо подать, чтобы стрелка отклонилась на одно деление, $1,4 \cdot 10^{-3}$ В/дел. Вся шкала имеет 10 делений. Найти, каким должно быть сопротивление добавочного резистора, чтобы прибор можно было использовать в качестве вольтметра с пределом измерений 5 В; 15 В.

Дано:

Найти:

Сопротивление добавочного резистора для предела 5 В ($R_{д1}$) и для предела 15 В ($R_{д2}$).

Решение:

Для превращения гальванометра в вольтметр с заданным пределом измерения, к нему необходимо последовательно подключить добавочный резистор. Его сопротивление подбирается так, чтобы при максимальном измеряемом напряжении ($U_{max}$) через гальванометр протекал ток полного отклонения стрелки ($I_г$).

1. Сначала определим характеристики самого гальванометра. Напряжение, вызывающее отклонение стрелки на всю шкалу ($U_г$), равно цене деления, умноженной на число делений:

$U_г = C_U \cdot N = 1.4 \cdot 10^{-3} \frac{\text{В}}{\text{дел}} \cdot 10 \text{ дел} = 0.014 \text{ В}$

2. Зная напряжение и сопротивление гальванометра, по закону Ома найдем ток полного отклонения стрелки:

$I_г = \frac{U_г}{R_г} = \frac{0.014 \text{ В}}{2.3 \text{ Ом}} \approx 0.006087 \text{ А}$

3. Когда к гальванометру последовательно подключается добавочный резистор с сопротивлением $R_д$, общее сопротивление нового прибора (вольтметра) становится $R_в = R_г + R_д$. По закону Ома для полной цепи вольтметра:

$U_{max} = I_г \cdot R_в = I_г \cdot (R_г + R_д)$

Отсюда выражаем формулу для расчета сопротивления добавочного резистора:

$R_д = \frac{U_{max}}{I_г} - R_г$

Теперь рассчитаем значения $R_д$ для каждого из заданных пределов измерения.

Для предела измерения 5 В:

Подставляем $U_{max} = U_1 = 5 \text{ В}$ в полученную формулу:

$R_{д1} = \frac{5 \text{ В}}{0.006087 \text{ А}} - 2.3 \text{ Ом} \approx 821.43 \text{ Ом} - 2.3 \text{ Ом} \approx 819.13 \text{ Ом}$

Ответ: для предела измерения 5 В сопротивление добавочного резистора должно быть примерно 819 Ом.

Для предела измерения 15 В:

Подставляем $U_{max} = U_2 = 15 \text{ В}$ в ту же формулу:

$R_{д2} = \frac{15 \text{ В}}{0.006087 \text{ А}} - 2.3 \text{ Ом} \approx 2464.29 \text{ Ом} - 2.3 \text{ Ом} \approx 2461.99 \text{ Ом}$

Ответ: для предела измерения 15 В сопротивление добавочного резистора должно быть примерно 2462 Ом (или 2.46 кОм).