Номер 787, страница 102 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

787. Кабель состоит из двух стальных жил площадью поперечного сечения $0,6 \text{ мм}^2$ каждая и четырёх медных жил площадью поперечного сечения $0,85 \text{ мм}^2$ каждая. Каково падение напряжения на каждом километре кабеля при силе тока 0,1 А?

Дано:

Количество стальных жил, $n_с = 2$
Площадь поперечного сечения одной стальной жилы, $S_с = 0,6 \, \text{мм}^2$
Количество медных жил, $n_м = 4$
Площадь поперечного сечения одной медной жилы, $S_м = 0,85 \, \text{мм}^2$
Длина кабеля, $l = 1 \, \text{км}$
Сила тока, $I = 0,1 \, \text{А}$
Удельное сопротивление стали (справочное значение), $\rho_с \approx 0,12 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$
Удельное сопротивление меди (справочное значение), $\rho_м \approx 0,017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Найти:

Падение напряжения, $U$.

Решение:

Все жилы в кабеле соединены параллельно, так как они образуют единый проводник для тока. Общее сопротивление кабеля $R_{каб}$ можно найти, зная, что проводимость (величина, обратная сопротивлению) параллельно соединенных проводников складывается. Проводимость всего кабеля равна сумме проводимостей стальной и медной частей.

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Вычислим сопротивление стальной и медной частей кабеля. Для этого сначала найдем их общие площади поперечного сечения.

Общая площадь сечения двух стальных жил:

$S_{с,общ} = n_с \cdot S_с = 2 \cdot 0,6 \, \text{мм}^2 = 1,2 \, \text{мм}^2$

Общая площадь сечения четырех медных жил:

$S_{м,общ} = n_м \cdot S_м = 4 \cdot 0,85 \, \text{мм}^2 = 3,4 \, \text{мм}^2$

Теперь рассчитаем сопротивление каждой части кабеля, используя длину $l = 1000 \, \text{м}$ и удельные сопротивления в единицах $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ для удобства вычислений.

Сопротивление стальной части:

$R_с = \rho_с \frac{l}{S_{с,общ}} = 0,12 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{1,2 \, \text{мм}^2} = 100 \, \text{Ом}$

Сопротивление медной части:

$R_м = \rho_м \frac{l}{S_{м,общ}} = 0,017 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3,4 \, \text{мм}^2} = 5 \, \text{Ом}$

Поскольку стальная и медная части соединены параллельно, общее сопротивление кабеля $R_{каб}$ найдем по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{каб}} = \frac{1}{R_с} + \frac{1}{R_м}$

Подставляем вычисленные значения:

$\frac{1}{R_{каб}} = \frac{1}{100 \, \text{Ом}} + \frac{1}{5 \, \text{Ом}} = \frac{1 + 20}{100} \, \text{Ом}^{-1} = \frac{21}{100} \, \text{Ом}^{-1}$

Отсюда общее сопротивление кабеля:

$R_{каб} = \frac{100}{21} \, \text{Ом} \approx 4,762 \, \text{Ом}$

Падение напряжения на кабеле (разность потенциалов на его концах) найдем по закону Ома для участка цепи:

$U = I \cdot R_{каб}$

$U = 0,1 \, \text{А} \cdot \frac{100}{21} \, \text{Ом} = \frac{10}{21} \, \text{В} \approx 0,476 \, \text{В}$

Округлив результат до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $0,48 \, \text{В}$.

Ответ: падение напряжения на каждом километре кабеля составляет приблизительно $0,48 \, \text{В}$.