Страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

688. Во сколько раз сила электрического отталкивания между двумя электронами больше силы их гравитационного притяжения друг к другу?

Дано

Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Модуль заряда электрона: $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Коэффициент в законе Кулона: $k \approx 9 \times 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$

Найти:

Отношение силы электрического отталкивания к силе гравитационного притяжения: $\frac{F_э}{F_г}$

Решение

Сила электрического отталкивания (сила Кулона) $F_э$ между двумя электронами, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга, определяется по формуле:

$F_э = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{e^2}{r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $e$ — модуль заряда электрона.

Сила гравитационного притяжения $F_г$ между этими же электронами определяется законом всемирного тяготения:

$F_г = G \frac{m_1 m_2}{r^2} = G \frac{m_e^2}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $m_e$ — масса электрона.

Чтобы найти, во сколько раз сила электрического отталкивания больше силы гравитационного притяжения, найдем их отношение. Для этого разделим выражение для силы Кулона на выражение для силы гравитации:

$\frac{F_э}{F_г} = \frac{k \frac{e^2}{r^2}}{G \frac{m_e^2}{r^2}}$

Как видно из формулы, квадрат расстояния $r^2$ между электронами сокращается. Это означает, что искомое отношение не зависит от расстояния между частицами.

$\frac{F_э}{F_г} = \frac{k e^2}{G m_e^2}$

Подставим значения физических констант в полученное выражение:

$\frac{F_э}{F_г} = \frac{9 \times 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot (1.6 \times 10^{-19} Кл)^2}{6.67 \times 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot (9.11 \times 10^{-31} кг)^2}$

Выполним вычисления:

$\frac{F_э}{F_г} = \frac{9 \times 10^9 \cdot 2.56 \times 10^{-38}}{6.67 \times 10^{-11} \cdot 82.99 \times 10^{-62}} = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{553.54 \times 10^{-73}}$

$\frac{F_э}{F_г} \approx 0.0416 \times 10^{44} \approx 4.2 \times 10^{42}$

Таким образом, сила электрического отталкивания между двумя электронами примерно в $4.2 \times 10^{42}$ раз больше силы их гравитационного притяжения. Это показывает, насколько электромагнитное взаимодействие сильнее гравитационного на уровне элементарных частиц.

Ответ: Сила электрического отталкивания больше силы гравитационного притяжения примерно в $4.2 \times 10^{42}$ раз.

689. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноимённо зарядами $q$ и $4q$, находятся на расстоянии $r$ друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние $x$ надо их развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

Дано:

Начальный заряд первого шарика: $q_1 = q$
Начальный заряд второго шарика: $q_2 = 4q$
Начальное расстояние между шариками: $r$
Сила взаимодействия до соприкосновения: $F_1$
Сила взаимодействия после соприкосновения: $F_2$
По условию $F_1 = F_2$

Найти:

Конечное расстояние между шариками: $x$

Решение:

1. Запишем выражение для силы электростатического взаимодействия (силы Кулона) между шариками в начальном состоянии. Согласно закону Кулона: $F_1 = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$ где $k$ – коэффициент пропорциональности. Подставим начальные значения зарядов: $F_1 = k \frac{|q \cdot 4q|}{r^2} = k \frac{4q^2}{r^2}$

2. Шарики одинаковые и металлические, поэтому при их соприкосновении общий заряд распределяется между ними поровну. Найдем суммарный заряд: $Q_{сум} = q_1 + q_2 = q + 4q = 5q$ После соприкосновения и разъединения заряд каждого шарика станет равен: $q'_1 = q'_2 = q' = \frac{Q_{сум}}{2} = \frac{5q}{2}$

3. Теперь запишем выражение для силы взаимодействия шариков после того, как их развели на расстояние $x$: $F_2 = k \frac{|q'_1 \cdot q'_2|}{x^2} = k \frac{|q' \cdot q'|}{x^2} = k \frac{(q')^2}{x^2}$ Подставим новое значение заряда: $F_2 = k \frac{(\frac{5q}{2})^2}{x^2} = k \frac{\frac{25q^2}{4}}{x^2} = k \frac{25q^2}{4x^2}$

4. По условию задачи сила взаимодействия не изменилась, то есть $F_1 = F_2$. Приравняем полученные выражения: $k \frac{4q^2}{r^2} = k \frac{25q^2}{4x^2}$ Сократим общие множители $k$ и $q^2$ (поскольку $q \neq 0$): $\frac{4}{r^2} = \frac{25}{4x^2}$ Выразим из этого уравнения $x^2$: $4 \cdot 4x^2 = 25 \cdot r^2$ $16x^2 = 25r^2$ $x^2 = \frac{25}{16}r^2$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние $x$ – величина положительная, берем арифметический корень: $x = \sqrt{\frac{25}{16}r^2} = \frac{5}{4}r = 1.25r$

Ответ: шарики надо развести на расстояние $x = 1.25r$.

690. Заряды $10 \text{ нКл}$ и $16 \text{ нКл}$ расположены на расстоянии $7 \text{ мм}$ друг от друга. Какая сила будет действовать на заряд $2 \text{ нКл}$, помещённый в точку, удалённую на $3 \text{ мм}$ от меньшего заряда и на $4 \text{ мм}$ от большего?

Дано:

$q_1 = 10 \text{ нКл}$ (меньший заряд)

$q_2 = 16 \text{ нКл}$ (больший заряд)

$q_3 = 2 \text{ нКл}$

$R = 7 \text{ мм}$ (расстояние между $q_1$ и $q_2$)

$r_1 = 3 \text{ мм}$ (расстояние от $q_3$ до $q_1$)

$r_2 = 4 \text{ мм}$ (расстояние от $q_3$ до $q_2$)

Перевод в систему СИ:

$q_1 = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_3 = 2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$R = 7 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$r_1 = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$r_2 = 4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Константа Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$F_{рез}$ - результирующую силу, действующую на заряд $q_3$.

Решение:

Проверим расположение зарядов. Расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$ равно $R = 7 \text{ мм}$. Сумма расстояний от заряда $q_3$ до зарядов $q_1$ и $q_2$ равна $r_1 + r_2 = 3 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 7 \text{ мм}$. Так как $r_1 + r_2 = R$, все три заряда расположены на одной прямой, причём заряд $q_3$ находится между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила, действующая на заряд $q_3$, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$:

$\vec{F}_{рез} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$

где $\vec{F}_1$ - сила со стороны заряда $q_1$, а $\vec{F}_2$ - сила со стороны заряда $q_2$.

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_a \cdot q_b|}{r^2}$

Все три заряда положительны, поэтому силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ являются силами отталкивания. Сила $\vec{F}_1$ направлена от заряда $q_1$ в сторону заряда $q_2$. Сила $\vec{F}_2$ направлена от заряда $q_2$ в сторону заряда $q_1$. Таким образом, силы направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Найдем модуль силы $F_1$, действующей на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_1$:

$F_1 = k \frac{|q_1 \cdot q_3|}{r_1^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot 2 \cdot 10^{-9}}{(3 \cdot 10^{-3})^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{20 \cdot 10^{-18}}{9 \cdot 10^{-6}} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0.02 \text{ Н}$

Найдем модуль силы $F_2$, действующей на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_2$:

$F_2 = k \frac{|q_2 \cdot q_3|}{r_2^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{16 \cdot 10^{-9} \cdot 2 \cdot 10^{-9}}{(4 \cdot 10^{-3})^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{32 \cdot 10^{-18}}{16 \cdot 10^{-6}} = 18 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0.018 \text{ Н}$

Так как силы $F_1$ и $F_2$ направлены в противоположные стороны, модуль результирующей силы равен разности их модулей:

$F_{рез} = |F_1 - F_2| = |0.02 \text{ Н} - 0.018 \text{ Н}| = 0.002 \text{ Н}$

Поскольку $F_1 > F_2$, результирующая сила направлена в сторону действия большей силы, то есть в сторону силы $F_1$. Это означает, что сила направлена от меньшего заряда ($q_1$) к большему ($q_2$).

Ответ: результирующая сила, действующая на заряд 2 нКл, равна $0.002 \text{ Н}$ и направлена в сторону большего заряда (16 нКл).

691. Заряды $ +q $ и $ -q $ расположены так, как показано на рисунке 73. Заряд $ \frac{q}{2} $ помещают сначала в точку C, а затем в точку D. Сравнить силы (по модулю), действующие на этот заряд, если $ DA = AC = CB $.

Рис. 73

Дано:

Заряд в точке А: $q_A = +q$
Заряд в точке B: $q_B = -q$
Пробный заряд: $q_0 = \frac{q}{2}$
Расстояния: $DA = AC = CB$. Обозначим это расстояние как $r$.

Найти:

Сравнить модули сил, действующих на заряд $q_0$ в точке C ($F_C$) и в точке D ($F_D$).

Решение:

Для нахождения сил мы будем использовать закон Кулона и принцип суперпозиции. Закон Кулона гласит, что сила взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся на расстоянии $d$ друг от друга, равна $F = k \frac{|q_1 q_2|}{d^2}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

1. Расчет силы в точке C ($F_C$)

Когда пробный заряд $q_0 = \frac{q}{2}$ находится в точке C, на него действуют две силы:

• Сила $F_{AC}$ со стороны заряда $+q$ в точке A. Так как заряды одноименные ($+q$ и $+\frac{q}{2}$), это сила отталкивания, направленная вправо.
• Сила $F_{BC}$ со стороны заряда $-q$ в точке B. Так как заряды разноименные ($-q$ и $+\frac{q}{2}$), это сила притяжения, также направленная вправо.

Поскольку обе силы направлены в одну сторону (вправо), результирующая сила $F_C$ равна сумме их модулей:

$F_C = F_{AC} + F_{BC}$

Рассчитаем модули этих сил, учитывая, что $AC = r$ и $CB = r$:

$F_{AC} = k \frac{|(+q) \cdot (q/2)|}{AC^2} = k \frac{q^2}{2r^2}$

$F_{BC} = k \frac{|(-q) \cdot (q/2)|}{CB^2} = k \frac{q^2}{2r^2}$

Тогда суммарная сила в точке C равна:

$F_C = k \frac{q^2}{2r^2} + k \frac{q^2}{2r^2} = 2 \cdot k \frac{q^2}{2r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

2. Расчет силы в точке D ($F_D$)

Когда пробный заряд $q_0 = \frac{q}{2}$ находится в точке D, на него также действуют две силы:

• Сила $F_{AD}$ со стороны заряда $+q$ в точке A. Это сила отталкивания, направленная влево.
• Сила $F_{BD}$ со стороны заряда $-q$ в точке B. Это сила притяжения, направленная вправо.

Силы направлены в противоположные стороны. Результирующая сила $F_D$ будет равна разности их модулей. Найдем эти модули, учитывая, что расстояние $DA = r$, а расстояние $DB = DA + AC + CB = r + r + r = 3r$.

$F_{AD} = k \frac{|(+q) \cdot (q/2)|}{DA^2} = k \frac{q^2}{2r^2}$ (направлена влево)

$F_{BD} = k \frac{|(-q) \cdot (q/2)|}{DB^2} = k \frac{q^2}{2(3r)^2} = k \frac{q^2}{2 \cdot 9r^2} = k \frac{q^2}{18r^2}$ (направлена вправо)

Сравним модули: $\frac{1}{2} > \frac{1}{18}$, следовательно $F_{AD} > F_{BD}$. Результирующая сила $F_D$ будет направлена влево, а ее модуль равен:

$F_D = F_{AD} - F_{BD} = k \frac{q^2}{2r^2} - k \frac{q^2}{18r^2} = k \frac{q^2}{r^2} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{18}\right) = k \frac{q^2}{r^2} \left(\frac{9}{18} - \frac{1}{18}\right) = k \frac{q^2}{r^2} \cdot \frac{8}{18} = \frac{4}{9} k \frac{q^2}{r^2}$

3. Сравнение сил

Теперь сравним модули сил $F_C$ и $F_D$:

$F_C = k \frac{q^2}{r^2}$

$F_D = \frac{4}{9} k \frac{q^2}{r^2}$

Найдем их отношение:

$\frac{F_C}{F_D} = \frac{k \frac{q^2}{r^2}}{\frac{4}{9} k \frac{q^2}{r^2}} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} = 2.25$

Таким образом, $F_C = 2.25 \cdot F_D$, что означает, что сила в точке C больше силы в точке D.

Ответ: Сила, действующая на заряд в точке C, по модулю больше силы, действующей на тот же заряд в точке D, в 2.25 раза ($F_C > F_D$).

692. Заряды 90 и 10 нКл расположены на расстоянии 4 см друг от друга. Где надо поместить третий заряд, чтобы силы, действующие на него со стороны других зарядов, были равны по модулю и противоположны по направлению?

Дано:

$q_1 = 90 \text{ нКл}$
$q_2 = 10 \text{ нКл}$
$r = 4 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$q_1 = 90 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Местоположение третьего заряда $q_3$, в котором он будет находиться в равновесии.

Решение:

Условие, при котором силы, действующие на третий заряд $q_3$ со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, равны по модулю и противоположны по направлению, является условием равновесия. Это означает, что векторная сумма сил, действующих на заряд $q_3$, равна нулю: $\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = 0$.

Для того чтобы силы были направлены в противоположные стороны, третий заряд $q_3$ должен располагаться на прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$. Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ одноименные (оба положительные), точка равновесия будет находиться между ними. Если бы заряд $q_3$ находился вне отрезка, соединяющего $q_1$ и $q_2$, то силы отталкивания (или притяжения, в зависимости от знака $q_3$) были бы направлены в одну сторону и не смогли бы скомпенсировать друг друга.

Пусть третий заряд $q_3$ находится на расстоянии $x$ от заряда $q_1$. Тогда расстояние от заряда $q_2$ до $q_3$ будет равно $(r-x)$.

Сила, действующая на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_1$, по закону Кулона равна: $F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{x^2}$

Сила, действующая на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_2$, равна: $F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{(r-x)^2}$

По условию равновесия, модули этих сил равны: $F_{13} = F_{23}$. $k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{(r-x)^2}$

Сократим общие множители $k$ и $|q_3|$. Заметим, что положение равновесия не зависит от величины и знака третьего заряда. $\frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(r-x)^2}$

Так как $q_1$ и $q_2$ положительны, модуль можно убрать: $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(r-x)^2}$

Преобразуем уравнение: $\frac{(r-x)^2}{x^2} = \frac{q_2}{q_1}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ и $r-x$ положительны, берем положительный корень): $\frac{r-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$

Подставим значения зарядов: $\sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\frac{10 \text{ нКл}}{90 \text{ нКл}}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Теперь решим уравнение относительно $x$: $\frac{r-x}{x} = \frac{1}{3}$
$3(r-x) = x$
$3r - 3x = x$
$3r = 4x$
$x = \frac{3}{4}r$

Подставим значение расстояния $r = 4 \text{ см}$: $x = \frac{3}{4} \cdot 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Таким образом, третий заряд нужно поместить на расстоянии 3 см от заряда $q_1 = 90 \text{ нКл}$ и, следовательно, на расстоянии $r-x = 4 \text{ см} - 3 \text{ см} = 1 \text{ см}$ от заряда $q_2 = 10 \text{ нКл}$.

Ответ: третий заряд необходимо поместить на прямой, соединяющей два заряда, между ними, на расстоянии 3 см от заряда 90 нКл и 1 см от заряда 10 нКл.

693. В вершинах правильного шестиугольника со стороной $a$ помещены друг за другом заряды $+q$, $+q$, $+q$, $-q$, $-q$, $-q$. Найти силу, действующую на заряд $+q$, который находится в центре шестиугольника.

Дано:

Сторона правильного шестиугольника: $a$
Заряды в вершинах (последовательно): $q_1=+q, q_2=+q, q_3=+q, q_4=-q, q_5=-q, q_6=-q$
Заряд в центре: $q_0 = +q$

Найти:

Результирующую силу $\vec{F}_{рез}$, действующую на заряд $q_0$.

Решение:

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой из его вершин равно длине его стороны. Следовательно, расстояние от каждого заряда в вершине до центрального заряда $q_0$ равно $r = a$.

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая сила, действующая на центральный заряд, является векторной суммой сил, создаваемых каждым из шести зарядов в вершинах:

$\vec{F}_{рез} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 + \vec{F}_6$

Модуль силы взаимодействия между центральным зарядом $q_0$ и любым из зарядов $q_i$ в вершинах определяется по закону Кулона и одинаков для всех зарядов:

$F = k \frac{|q_i \cdot q_0|}{r^2} = k \frac{|(\pm q) \cdot (+q)|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — электрическая постоянная.

Направления сил зависят от знаков зарядов:

• Силы $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ от положительных зарядов $+q$ являются силами отталкивания, то есть направлены от соответствующих вершин.
• Силы $\vec{F}_4, \vec{F}_5, \vec{F}_6$ от отрицательных зарядов $-q$ являются силами притяжения, то есть направлены к соответствующим вершинам.

Для упрощения векторного сложения рассмотрим силы от пар зарядов, расположенных в диаметрально противоположных вершинах. Пронумеруем вершины по часовой стрелке.

• Пара 1-4: Заряд $q_1=+q$ отталкивает центральный заряд $q_0$, создавая силу $\vec{F}_1$. Заряд $q_4=-q$ притягивает заряд $q_0$, создавая силу $\vec{F}_4$. Поскольку вершины 1 и 4 находятся на одной прямой, проходящей через центр, и по разные стороны от него, то сила отталкивания от вершины 1 ($\vec{F}_1$) и сила притяжения к вершине 4 ($\vec{F}_4$) направлены в одну и ту же сторону (к вершине 4). Суммарная сила от этой пары $\vec{F}_{14} = \vec{F}_1 + \vec{F}_4$, ее модуль равен $F_{14} = F + F = 2F$.
• Пара 2-5: Аналогично, заряды $q_2=+q$ и $q_5=-q$ создают суммарную силу $\vec{F}_{25}$, направленную к вершине 5, с модулем $F_{25} = 2F$.
• Пара 3-6: Заряды $q_3=+q$ и $q_6=-q$ создают суммарную силу $\vec{F}_{36}$, направленную к вершине 6, с модулем $F_{36} = 2F$.

Теперь задача сводится к сложению трех векторов $\vec{F}_{14}$, $\vec{F}_{25}$ и $\vec{F}_{36}$. Все они имеют одинаковый модуль $2F$. Эти векторы направлены к вершинам 4, 5 и 6, которые являются соседними. Угол между любыми двумя соседними диагоналями шестиугольника равен $60^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{F}_{14}$ и $\vec{F}_{25}$ равен $60^\circ$, и угол между $\vec{F}_{25}$ и $\vec{F}_{36}$ также равен $60^\circ$.

Сложим эти три вектора. Найдем сначала сумму векторов $\vec{F}_{14}$ и $\vec{F}_{36}$. Угол между ними равен $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Их результирующий вектор будет направлен по биссектрисе угла, то есть в том же направлении, что и вектор $\vec{F}_{25}$. Модуль этой суммы найдем по правилу параллелограмма:

$F_{14,36} = \sqrt{(2F)^2 + (2F)^2 + 2(2F)(2F)\cos(120^\circ)} = \sqrt{4F^2 + 4F^2 + 8F^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{4F^2} = 2F$.

Таким образом, сумма $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{36}$ дает вектор с модулем $2F$, сонаправленный с вектором $\vec{F}_{25}$.

Полная результирующая сила равна сумме этого вектора и оставшегося вектора $\vec{F}_{25}$:

$\vec{F}_{рез} = (\vec{F}_{14} + \vec{F}_{36}) + \vec{F}_{25}$

Поскольку оба вектора-слагаемых сонаправлены, их модули просто складываются:

$F_{рез} = F_{14,36} + F_{25} = 2F + 2F = 4F$.

Подставим значение для $F$:

$F_{рез} = 4 \left( k \frac{q^2}{a^2} \right) = 4k \frac{q^2}{a^2}$.

Если использовать выражение для коэффициента $k$ в СИ, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, то:

$F_{рез} = 4 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a^2} = \frac{q^2}{\pi\epsilon_0 a^2}$.

Сила направлена по диагонали, проходящей через вершины 2 и 5, в сторону вершины 5 (центральной из трех вершин с отрицательными зарядами).

Ответ: $F_{рез} = 4k \frac{q^2}{a^2} = \frac{q^2}{\pi\epsilon_0 a^2}$.

694. Заряды 40 и -10 нКл расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Какой надо взять третий заряд и где следует его поместить, чтобы равнодействующая сил, действующих на него со стороны двух других зарядов, была бы равна нулю?

Дано:

$q_1 = 40 \text{ нКл} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = -10 \text{ нКл} = -10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$q_3$ - ?
$x$ - ? (координата третьего заряда)

Решение:

Для того чтобы третий заряд $q_3$ находился в равновесии, равнодействующая сил, действующих на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, должна быть равна нулю. Это означает, что силы $\vec{F}_{13}$ (сила со стороны заряда $q_1$) и $\vec{F}_{23}$ (сила со стороны заряда $q_2$) должны быть равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

$\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = 0 \implies \vec{F}_{13} = -\vec{F}_{23}$

Для того чтобы силы были направлены в противоположные стороны, все три заряда должны лежать на одной прямой. Рассмотрим возможные положения заряда $q_3$ на этой прямой. Пусть заряд $q_1$ находится в начале координат ($x=0$), а заряд $q_2$ в точке $x=r$.

1. Между зарядами $q_1$ и $q_2$. В этом случае, так как заряды $q_1$ (положительный) и $q_2$ (отрицательный) имеют разные знаки, силы, действующие на $q_3$, будут направлены в одну сторону (к заряду $q_2$), независимо от знака заряда $q_3$. Сила от $q_1$ будет отталкивающей, а сила от $q_2$ - притягивающей (если $q_3 > 0$), или наоборот (если $q_3 < 0$). В любом случае, они направлены в одну сторону и не могут скомпенсировать друг друга.

2. На прямой за зарядом $q_1$ (со стороны, противоположной $q_2$). В этом случае силы $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ направлены в противоположные стороны. Однако, поскольку $|q_1| > |q_2|$, а расстояние до $q_1$ будет всегда меньше, чем до $q_2$, сила $F_{13}$ будет всегда больше силы $F_{23}$. Равновесие невозможно.

3. На прямой за зарядом $q_2$ (со стороны, противоположной $q_1$). В этом случае силы также направлены в противоположные стороны. Так как мы находимся дальше от заряда $q_1$ (с большим модулем) и ближе к заряду $q_2$ (с меньшим модулем), то существует точка, где модули сил могут быть равны.

Обозначим расстояние от заряда $q_2$ до заряда $q_3$ через $x$. Тогда расстояние от заряда $q_1$ до $q_3$ будет равно $r+x$.

Запишем условие равенства модулей сил Кулона:

$F_{13} = F_{23}$

$k \frac{|q_1| |q_3|}{(r+x)^2} = k \frac{|q_2| |q_3|}{x^2}$

Как видно из уравнения, величина заряда $|q_3|$ и коэффициент $k$ сокращаются. Это означает, что положение равновесия не зависит от величины и знака третьего заряда.

$\frac{|q_1|}{(r+x)^2} = \frac{|q_2|}{x^2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{40 \cdot 10^{-9}}{(0.1 + x)^2} = \frac{10 \cdot 10^{-9}}{x^2}$

$\frac{4}{(0.1 + x)^2} = \frac{1}{x^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ - это расстояние, оно должно быть положительным):

$\frac{2}{0.1 + x} = \frac{1}{x}$

$2x = 0.1 + x$

$x = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$

Таким образом, третий заряд нужно поместить на расстоянии 10 см от заряда $q_2 = -10$ нКл на линии, соединяющей заряды, с той стороны, где нет заряда $q_1$. Расстояние от заряда $q_1$ составит $10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Вопрос "Какой надо взять третий заряд?" подразумевает нахождение его величины. Поскольку величина заряда $q_3$ сократилась при решении уравнения, равновесие будет соблюдаться для любого заряда $q_3$ (положительного или отрицательного, любой ненулевой величины), помещенного в найденную точку.

Ответ: Третий заряд может быть любым по знаку и величине (кроме нуля). Его следует поместить на линии, соединяющей два исходных заряда, на расстоянии 10 см от заряда –10 нКл в сторону, противоположную заряду 40 нКл.

695. Два заряда по 25 нКл каждый, расположенные на расстоянии 24 см друг от друга, образуют электростатическое поле. С какой силой это поле действует на заряд 2 нКл, помещённый в точку, удалённую на 15 см от каждого из зарядов, если заряды, образующие поле, одноимённые; разноимённые?

Дано:

Величина зарядов, создающих поле: $q_1 = q_2 = 25 \text{ нКл}$

Расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$: $d = 24 \text{ см}$

Величина пробного заряда: $q_0 = 2 \text{ нКл}$

Расстояние от каждого из зарядов $q_1$ и $q_2$ до $q_0$: $r = 15 \text{ см}$

Электрическая постоянная: $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Результирующую силу $F$, действующую на заряд $q_0$, для двух случаев.

Решение:

Положение зарядов $q_1$, $q_2$ и $q_0$ образует равнобедренный треугольник с основанием $d = 0.24 \text{ м}$ и боковыми сторонами $r = 0.15 \text{ м}$.

Сила, действующая на заряд $q_0$ со стороны каждого из зарядов $q_1$ и $q_2$, определяется законом Кулона. Так как величины зарядов $|q_1|$, $|q_2|$ и расстояния до $q_0$ одинаковы, то модули этих сил равны:

$F_{1} = F_{2} = F_{0} = k \frac{|q_1| \cdot |q_0|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{(25 \cdot 10^{-9}) \cdot (2 \cdot 10^{-9})}{0.15^2}$

$F_{0} = 9 \cdot 10^9 \frac{50 \cdot 10^{-18}}{0.0225} = \frac{450 \cdot 10^{-9}}{0.0225} = 20000 \cdot 10^{-9} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Результирующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ ($\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$). Для нахождения суммы воспользуемся методом проекций. Расположим заряды $q_1$ и $q_2$ на оси $x$ симметрично относительно начала координат, а заряд $q_0$ — на оси $y$.

Найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание $d$. Она делит основание пополам. По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2} = \sqrt{0.15^2 - (0.24/2)^2} = \sqrt{0.0225 - 0.12^2} = \sqrt{0.0225 - 0.0144} = \sqrt{0.0081} = 0.09 \text{ м}$

если заряды, образующие поле, одноимённые

В этом случае оба заряда $q_1$ и $q_2$ одного знака (например, положительные). Тогда обе силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, действующие на положительный (для простоты) заряд $q_0$, будут силами отталкивания. Они направлены вдоль прямых, соединяющих заряды. Векторы сил образуют симметричную картину относительно высоты $h$ треугольника (оси $y$).

Проекции сил на ось $x$, параллельную основанию $d$, будут равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Проекции на ось $y$, совпадающую с высотой $h$, будут равны и направлены в одну сторону, поэтому они складываются.

Пусть $\alpha$ — угол между боковой стороной $r$ и высотой $h$. Тогда $\cos \alpha = \frac{h}{r} = \frac{0.09}{0.15} = 0.6$.

Результирующая сила $F_{одн}$ равна сумме проекций сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ на направление высоты:

$F_{одн} = F_1 \cos \alpha + F_2 \cos \alpha = 2 F_{0} \cos \alpha = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-5}) \cdot 0.6 = 2.4 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Сила направлена вдоль перпендикуляра к отрезку, соединяющему заряды, в сторону от него.

Ответ: $2.4 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

если заряды, образующие поле, разноимённые

В этом случае заряды $q_1$ и $q_2$ имеют противоположные знаки (например, $q_1 > 0$, а $q_2 < 0$). Сила $\vec{F_1}$ будет силой отталкивания, а сила $\vec{F_2}$ — силой притяжения. Модули сил остаются прежними: $F_1 = F_2 = F_{0} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

Теперь проекции сил на ось $y$ (совпадающую с высотой $h$) будут равны по модулю и противоположны по направлению, и их сумма равна нулю. Проекции на ось $x$ (параллельную основанию $d$) будут равны и направлены в одну сторону (в сторону отрицательного заряда $q_2$).

Пусть $\theta$ — угол при основании треугольника. Тогда $\cos \theta = \frac{d/2}{r} = \frac{0.12}{0.15} = 0.8$.

Результирующая сила $F_{разн}$ равна сумме проекций сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ на направление основания $d$:

$F_{разн} = F_1 \cos \theta + F_2 \cos \theta = 2 F_{0} \cos \theta = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-5}) \cdot 0.8 = 3.2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Сила направлена параллельно отрезку, соединяющему заряды $q_1$ и $q_2$.

Ответ: $3.2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.