Номер 692, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

692. Заряды 90 и 10 нКл расположены на расстоянии 4 см друг от друга. Где надо поместить третий заряд, чтобы силы, действующие на него со стороны других зарядов, были равны по модулю и противоположны по направлению?

Дано:

$q_1 = 90 \text{ нКл}$
$q_2 = 10 \text{ нКл}$
$r = 4 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$q_1 = 90 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_2 = 10 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Местоположение третьего заряда $q_3$, в котором он будет находиться в равновесии.

Решение:

Условие, при котором силы, действующие на третий заряд $q_3$ со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, равны по модулю и противоположны по направлению, является условием равновесия. Это означает, что векторная сумма сил, действующих на заряд $q_3$, равна нулю: $\vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = 0$.

Для того чтобы силы были направлены в противоположные стороны, третий заряд $q_3$ должен располагаться на прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$. Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ одноименные (оба положительные), точка равновесия будет находиться между ними. Если бы заряд $q_3$ находился вне отрезка, соединяющего $q_1$ и $q_2$, то силы отталкивания (или притяжения, в зависимости от знака $q_3$) были бы направлены в одну сторону и не смогли бы скомпенсировать друг друга.

Пусть третий заряд $q_3$ находится на расстоянии $x$ от заряда $q_1$. Тогда расстояние от заряда $q_2$ до $q_3$ будет равно $(r-x)$.

Сила, действующая на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_1$, по закону Кулона равна: $F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{x^2}$

Сила, действующая на заряд $q_3$ со стороны заряда $q_2$, равна: $F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{(r-x)^2}$

По условию равновесия, модули этих сил равны: $F_{13} = F_{23}$. $k \frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k \frac{|q_2 q_3|}{(r-x)^2}$

Сократим общие множители $k$ и $|q_3|$. Заметим, что положение равновесия не зависит от величины и знака третьего заряда. $\frac{|q_1|}{x^2} = \frac{|q_2|}{(r-x)^2}$

Так как $q_1$ и $q_2$ положительны, модуль можно убрать: $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(r-x)^2}$

Преобразуем уравнение: $\frac{(r-x)^2}{x^2} = \frac{q_2}{q_1}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $x$ и $r-x$ положительны, берем положительный корень): $\frac{r-x}{x} = \sqrt{\frac{q_2}{q_1}}$

Подставим значения зарядов: $\sqrt{\frac{q_2}{q_1}} = \sqrt{\frac{10 \text{ нКл}}{90 \text{ нКл}}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Теперь решим уравнение относительно $x$: $\frac{r-x}{x} = \frac{1}{3}$
$3(r-x) = x$
$3r - 3x = x$
$3r = 4x$
$x = \frac{3}{4}r$

Подставим значение расстояния $r = 4 \text{ см}$: $x = \frac{3}{4} \cdot 4 \text{ см} = 3 \text{ см}$

Таким образом, третий заряд нужно поместить на расстоянии 3 см от заряда $q_1 = 90 \text{ нКл}$ и, следовательно, на расстоянии $r-x = 4 \text{ см} - 3 \text{ см} = 1 \text{ см}$ от заряда $q_2 = 10 \text{ нКл}$.

Ответ: третий заряд необходимо поместить на прямой, соединяющей два заряда, между ними, на расстоянии 3 см от заряда 90 нКл и 1 см от заряда 10 нКл.