Номер 695, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

695. Два заряда по 25 нКл каждый, расположенные на расстоянии 24 см друг от друга, образуют электростатическое поле. С какой силой это поле действует на заряд 2 нКл, помещённый в точку, удалённую на 15 см от каждого из зарядов, если заряды, образующие поле, одноимённые; разноимённые?

Дано:

Величина зарядов, создающих поле: $q_1 = q_2 = 25 \text{ нКл}$

Расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$: $d = 24 \text{ см}$

Величина пробного заряда: $q_0 = 2 \text{ нКл}$

Расстояние от каждого из зарядов $q_1$ и $q_2$ до $q_0$: $r = 15 \text{ см}$

Электрическая постоянная: $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Результирующую силу $F$, действующую на заряд $q_0$, для двух случаев.

Решение:

Положение зарядов $q_1$, $q_2$ и $q_0$ образует равнобедренный треугольник с основанием $d = 0.24 \text{ м}$ и боковыми сторонами $r = 0.15 \text{ м}$.

Сила, действующая на заряд $q_0$ со стороны каждого из зарядов $q_1$ и $q_2$, определяется законом Кулона. Так как величины зарядов $|q_1|$, $|q_2|$ и расстояния до $q_0$ одинаковы, то модули этих сил равны:

$F_{1} = F_{2} = F_{0} = k \frac{|q_1| \cdot |q_0|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{(25 \cdot 10^{-9}) \cdot (2 \cdot 10^{-9})}{0.15^2}$

$F_{0} = 9 \cdot 10^9 \frac{50 \cdot 10^{-18}}{0.0225} = \frac{450 \cdot 10^{-9}}{0.0225} = 20000 \cdot 10^{-9} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Результирующая сила $\vec{F}$ является векторной суммой сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ ($\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$). Для нахождения суммы воспользуемся методом проекций. Расположим заряды $q_1$ и $q_2$ на оси $x$ симметрично относительно начала координат, а заряд $q_0$ — на оси $y$.

Найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание $d$. Она делит основание пополам. По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2} = \sqrt{0.15^2 - (0.24/2)^2} = \sqrt{0.0225 - 0.12^2} = \sqrt{0.0225 - 0.0144} = \sqrt{0.0081} = 0.09 \text{ м}$

если заряды, образующие поле, одноимённые

В этом случае оба заряда $q_1$ и $q_2$ одного знака (например, положительные). Тогда обе силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$, действующие на положительный (для простоты) заряд $q_0$, будут силами отталкивания. Они направлены вдоль прямых, соединяющих заряды. Векторы сил образуют симметричную картину относительно высоты $h$ треугольника (оси $y$).

Проекции сил на ось $x$, параллельную основанию $d$, будут равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Проекции на ось $y$, совпадающую с высотой $h$, будут равны и направлены в одну сторону, поэтому они складываются.

Пусть $\alpha$ — угол между боковой стороной $r$ и высотой $h$. Тогда $\cos \alpha = \frac{h}{r} = \frac{0.09}{0.15} = 0.6$.

Результирующая сила $F_{одн}$ равна сумме проекций сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ на направление высоты:

$F_{одн} = F_1 \cos \alpha + F_2 \cos \alpha = 2 F_{0} \cos \alpha = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-5}) \cdot 0.6 = 2.4 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Сила направлена вдоль перпендикуляра к отрезку, соединяющему заряды, в сторону от него.

Ответ: $2.4 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

если заряды, образующие поле, разноимённые

В этом случае заряды $q_1$ и $q_2$ имеют противоположные знаки (например, $q_1 > 0$, а $q_2 < 0$). Сила $\vec{F_1}$ будет силой отталкивания, а сила $\vec{F_2}$ — силой притяжения. Модули сил остаются прежними: $F_1 = F_2 = F_{0} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

Теперь проекции сил на ось $y$ (совпадающую с высотой $h$) будут равны по модулю и противоположны по направлению, и их сумма равна нулю. Проекции на ось $x$ (параллельную основанию $d$) будут равны и направлены в одну сторону (в сторону отрицательного заряда $q_2$).

Пусть $\theta$ — угол при основании треугольника. Тогда $\cos \theta = \frac{d/2}{r} = \frac{0.12}{0.15} = 0.8$.

Результирующая сила $F_{разн}$ равна сумме проекций сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ на направление основания $d$:

$F_{разн} = F_1 \cos \theta + F_2 \cos \theta = 2 F_{0} \cos \theta = 2 \cdot (2 \cdot 10^{-5}) \cdot 0.8 = 3.2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Сила направлена параллельно отрезку, соединяющему заряды $q_1$ и $q_2$.

Ответ: $3.2 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.