Номер 689, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

689. Одинаковые металлические шарики, заряженные одноимённо зарядами $q$ и $4q$, находятся на расстоянии $r$ друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние $x$ надо их развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней?

Дано:

Начальный заряд первого шарика: $q_1 = q$
Начальный заряд второго шарика: $q_2 = 4q$
Начальное расстояние между шариками: $r$
Сила взаимодействия до соприкосновения: $F_1$
Сила взаимодействия после соприкосновения: $F_2$
По условию $F_1 = F_2$

Найти:

Конечное расстояние между шариками: $x$

Решение:

1. Запишем выражение для силы электростатического взаимодействия (силы Кулона) между шариками в начальном состоянии. Согласно закону Кулона: $F_1 = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$ где $k$ – коэффициент пропорциональности. Подставим начальные значения зарядов: $F_1 = k \frac{|q \cdot 4q|}{r^2} = k \frac{4q^2}{r^2}$

2. Шарики одинаковые и металлические, поэтому при их соприкосновении общий заряд распределяется между ними поровну. Найдем суммарный заряд: $Q_{сум} = q_1 + q_2 = q + 4q = 5q$ После соприкосновения и разъединения заряд каждого шарика станет равен: $q'_1 = q'_2 = q' = \frac{Q_{сум}}{2} = \frac{5q}{2}$

3. Теперь запишем выражение для силы взаимодействия шариков после того, как их развели на расстояние $x$: $F_2 = k \frac{|q'_1 \cdot q'_2|}{x^2} = k \frac{|q' \cdot q'|}{x^2} = k \frac{(q')^2}{x^2}$ Подставим новое значение заряда: $F_2 = k \frac{(\frac{5q}{2})^2}{x^2} = k \frac{\frac{25q^2}{4}}{x^2} = k \frac{25q^2}{4x^2}$

4. По условию задачи сила взаимодействия не изменилась, то есть $F_1 = F_2$. Приравняем полученные выражения: $k \frac{4q^2}{r^2} = k \frac{25q^2}{4x^2}$ Сократим общие множители $k$ и $q^2$ (поскольку $q \neq 0$): $\frac{4}{r^2} = \frac{25}{4x^2}$ Выразим из этого уравнения $x^2$: $4 \cdot 4x^2 = 25 \cdot r^2$ $16x^2 = 25r^2$ $x^2 = \frac{25}{16}r^2$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние $x$ – величина положительная, берем арифметический корень: $x = \sqrt{\frac{25}{16}r^2} = \frac{5}{4}r = 1.25r$

Ответ: шарики надо развести на расстояние $x = 1.25r$.