Номер 687, страница 89 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

687. На нерастяжимой нити висит шарик массой 100 г, имеющий заряд 20 мкКл. Как необходимо зарядить второй шарик, который подносят снизу к первому шарику на расстояние 30 см, чтобы сила натяжения: уменьшилась вдвое; рассмотреть случай невесомости; увеличилась в 4 раза?

Дано:

Масса первого шарика, $m = 100 \text{ г}$

Заряд первого шарика, $q_1 = 20 \text{ мкКл}$

Расстояние между шариками, $r = 30 \text{ см}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Электрическая постоянная, $k \approx 9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 0.1 \text{ кг}$

$q_1 = 20 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

$r = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Заряд второго шарика $q_2$ для каждого из трех случаев.

Решение:

В начальном состоянии, когда второй шарик отсутствует, на первый шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T_0$, направленная вверх. Из условия равновесия следует, что начальная сила натяжения равна силе тяжести:

$T_0 = mg = 0.1 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 = 0.98 \text{ Н}$

Когда снизу подносят второй шарик с зарядом $q_2$, на первый шарик начинает действовать дополнительная сила – сила Кулона $F_e$, направленная по вертикали. Величина этой силы определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Направление силы Кулона зависит от знака заряда $q_2$. Поскольку заряд первого шарика $q_1$ положительный, то:

• Если $q_2$ положительный, шарики отталкиваются, и сила $F_e$ направлена вверх.
• Если $q_2$ отрицательный, шарики притягиваются, и сила $F_e$ направлена вниз.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

уменьшилась вдвое

Новая сила натяжения $T_1$ должна быть вдвое меньше начальной:

$T_1 = \frac{T_0}{2} = \frac{mg}{2}$

Поскольку сила натяжения уменьшилась, сила Кулона должна быть направлена вверх, то есть действовать против силы тяжести. Это означает, что шарики отталкиваются, и заряды $q_1$ и $q_2$ имеют одинаковый знак. Так как $q_1 > 0$, то и $q_2 > 0$.

Условие равновесия для первого шарика в этом случае:

$T_1 + F_e = mg$

Подставим значение $T_1$:

$\frac{mg}{2} + F_e = mg \implies F_e = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2}$

Теперь приравняем это к выражению для силы Кулона и найдем $q_2$:

$k \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{mg}{2}$

$q_2 = \frac{mg r^2}{2 k q_1}$

Подставим числовые значения:

$q_2 = \frac{0.1 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times (0.3 \text{ м})^2}{2 \times 9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \times 20 \times 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{0.98 \times 0.09}{360 \times 10^3} = \frac{0.0882}{3.6 \times 10^5} \approx 2.45 \times 10^{-7} \text{ Кл}$

В микрокулонах это будет:

$q_2 = 0.245 \times 10^{-6} \text{ Кл} = 0.245 \text{ мкКл}$

Ответ: второй шарик необходимо зарядить положительным зарядом $q_2 = +0.245 \text{ мкКл}$.

рассмотреть случай невесомости

В условиях невесомости сила тяжести отсутствует ($mg = 0$), следовательно, начальная сила натяжения нити также равна нулю ($T_0=0$). Формулировка задачи "уменьшить вдвое" для нулевой силы натяжения не имеет физического смысла. Однако, можно предположить, что требуется найти такой заряд $q_2$, который создаст в нити натяжение, равное по величине конечной силе натяжения из предыдущего пункта ($T = mg/2$).

Чтобы в нити возникло натяжение, сила Кулона должна быть направлена вниз (сила притяжения). Это возможно, если заряды $q_1$ и $q_2$ разноименные. Так как $q_1 > 0$, заряд $q_2$ должен быть отрицательным.

Условие равновесия в невесомости:

$T = F_e$

Примем, что $T = \frac{mg}{2}$. Тогда:

$F_e = \frac{mg}{2}$

$k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{mg}{2}$

$|q_2| = \frac{mg r^2}{2 k q_1}$

Это выражение совпадает с расчетом из предыдущего пункта, следовательно, модуль заряда будет таким же:

$|q_2| \approx 2.45 \times 10^{-7} \text{ Кл} = 0.245 \text{ мкКл}$

Так как заряд должен быть отрицательным, $q_2 = -0.245 \text{ мкКл}$.

Ответ: в условиях невесомости для создания натяжения в нити заряд второго шарика должен быть отрицательным. Если требуется создать натяжение, равное $mg/2$, то заряд должен быть $q_2 = -0.245 \text{ мкКл}$.

увеличилась в 4 раза

Новая сила натяжения $T_2$ должна быть в 4 раза больше начальной:

$T_2 = 4 T_0 = 4mg$

Так как сила натяжения увеличилась, сила Кулона должна быть направлена вниз, то есть действовать в том же направлении, что и сила тяжести. Это означает, что шарики притягиваются, и заряды $q_1$ и $q_2$ имеют противоположные знаки. Так как $q_1 > 0$, то $q_2 < 0$.

Условие равновесия для первого шарика в этом случае:

$T_2 = mg + F_e$

Подставим значение $T_2$:

$4mg = mg + F_e \implies F_e = 4mg - mg = 3mg$

Теперь приравняем это к выражению для силы Кулона и найдем модуль заряда $|q_2|$:

$k \frac{q_1 |q_2|}{r^2} = 3mg$

$|q_2| = \frac{3mg r^2}{k q_1}$

Подставим числовые значения:

$|q_2| = \frac{3 \times 0.1 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times (0.3 \text{ м})^2}{9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \times 20 \times 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{3 \times 0.0882}{1.8 \times 10^5} = \frac{0.2646}{1.8 \times 10^5} \approx 1.47 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

В микрокулонах это будет:

$|q_2| = 1.47 \text{ мкКл}$

Поскольку заряд должен быть отрицательным, $q_2 = -1.47 \text{ мкКл}$.

Ответ: второй шарик необходимо зарядить отрицательным зарядом $q_2 = -1.47 \text{ мкКл}$.