Номер 693, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

693. В вершинах правильного шестиугольника со стороной $a$ помещены друг за другом заряды $+q$, $+q$, $+q$, $-q$, $-q$, $-q$. Найти силу, действующую на заряд $+q$, который находится в центре шестиугольника.

Дано:

Сторона правильного шестиугольника: $a$
Заряды в вершинах (последовательно): $q_1=+q, q_2=+q, q_3=+q, q_4=-q, q_5=-q, q_6=-q$
Заряд в центре: $q_0 = +q$

Найти:

Результирующую силу $\vec{F}_{рез}$, действующую на заряд $q_0$.

Решение:

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой из его вершин равно длине его стороны. Следовательно, расстояние от каждого заряда в вершине до центрального заряда $q_0$ равно $r = a$.

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая сила, действующая на центральный заряд, является векторной суммой сил, создаваемых каждым из шести зарядов в вершинах:

$\vec{F}_{рез} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 + \vec{F}_6$

Модуль силы взаимодействия между центральным зарядом $q_0$ и любым из зарядов $q_i$ в вершинах определяется по закону Кулона и одинаков для всех зарядов:

$F = k \frac{|q_i \cdot q_0|}{r^2} = k \frac{|(\pm q) \cdot (+q)|}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — электрическая постоянная.

Направления сил зависят от знаков зарядов:

• Силы $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3$ от положительных зарядов $+q$ являются силами отталкивания, то есть направлены от соответствующих вершин.
• Силы $\vec{F}_4, \vec{F}_5, \vec{F}_6$ от отрицательных зарядов $-q$ являются силами притяжения, то есть направлены к соответствующим вершинам.

Для упрощения векторного сложения рассмотрим силы от пар зарядов, расположенных в диаметрально противоположных вершинах. Пронумеруем вершины по часовой стрелке.

• Пара 1-4: Заряд $q_1=+q$ отталкивает центральный заряд $q_0$, создавая силу $\vec{F}_1$. Заряд $q_4=-q$ притягивает заряд $q_0$, создавая силу $\vec{F}_4$. Поскольку вершины 1 и 4 находятся на одной прямой, проходящей через центр, и по разные стороны от него, то сила отталкивания от вершины 1 ($\vec{F}_1$) и сила притяжения к вершине 4 ($\vec{F}_4$) направлены в одну и ту же сторону (к вершине 4). Суммарная сила от этой пары $\vec{F}_{14} = \vec{F}_1 + \vec{F}_4$, ее модуль равен $F_{14} = F + F = 2F$.
• Пара 2-5: Аналогично, заряды $q_2=+q$ и $q_5=-q$ создают суммарную силу $\vec{F}_{25}$, направленную к вершине 5, с модулем $F_{25} = 2F$.
• Пара 3-6: Заряды $q_3=+q$ и $q_6=-q$ создают суммарную силу $\vec{F}_{36}$, направленную к вершине 6, с модулем $F_{36} = 2F$.

Теперь задача сводится к сложению трех векторов $\vec{F}_{14}$, $\vec{F}_{25}$ и $\vec{F}_{36}$. Все они имеют одинаковый модуль $2F$. Эти векторы направлены к вершинам 4, 5 и 6, которые являются соседними. Угол между любыми двумя соседними диагоналями шестиугольника равен $60^\circ$. Следовательно, угол между векторами $\vec{F}_{14}$ и $\vec{F}_{25}$ равен $60^\circ$, и угол между $\vec{F}_{25}$ и $\vec{F}_{36}$ также равен $60^\circ$.

Сложим эти три вектора. Найдем сначала сумму векторов $\vec{F}_{14}$ и $\vec{F}_{36}$. Угол между ними равен $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Их результирующий вектор будет направлен по биссектрисе угла, то есть в том же направлении, что и вектор $\vec{F}_{25}$. Модуль этой суммы найдем по правилу параллелограмма:

$F_{14,36} = \sqrt{(2F)^2 + (2F)^2 + 2(2F)(2F)\cos(120^\circ)} = \sqrt{4F^2 + 4F^2 + 8F^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{4F^2} = 2F$.

Таким образом, сумма $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{36}$ дает вектор с модулем $2F$, сонаправленный с вектором $\vec{F}_{25}$.

Полная результирующая сила равна сумме этого вектора и оставшегося вектора $\vec{F}_{25}$:

$\vec{F}_{рез} = (\vec{F}_{14} + \vec{F}_{36}) + \vec{F}_{25}$

Поскольку оба вектора-слагаемых сонаправлены, их модули просто складываются:

$F_{рез} = F_{14,36} + F_{25} = 2F + 2F = 4F$.

Подставим значение для $F$:

$F_{рез} = 4 \left( k \frac{q^2}{a^2} \right) = 4k \frac{q^2}{a^2}$.

Если использовать выражение для коэффициента $k$ в СИ, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, то:

$F_{рез} = 4 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{a^2} = \frac{q^2}{\pi\epsilon_0 a^2}$.

Сила направлена по диагонали, проходящей через вершины 2 и 5, в сторону вершины 5 (центральной из трех вершин с отрицательными зарядами).

Ответ: $F_{рез} = 4k \frac{q^2}{a^2} = \frac{q^2}{\pi\epsilon_0 a^2}$.