Номер 691, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

691. Заряды $ +q $ и $ -q $ расположены так, как показано на рисунке 73. Заряд $ \frac{q}{2} $ помещают сначала в точку C, а затем в точку D. Сравнить силы (по модулю), действующие на этот заряд, если $ DA = AC = CB $.

Рис. 73

Дано:

Заряд в точке А: $q_A = +q$
Заряд в точке B: $q_B = -q$
Пробный заряд: $q_0 = \frac{q}{2}$
Расстояния: $DA = AC = CB$. Обозначим это расстояние как $r$.

Найти:

Сравнить модули сил, действующих на заряд $q_0$ в точке C ($F_C$) и в точке D ($F_D$).

Решение:

Для нахождения сил мы будем использовать закон Кулона и принцип суперпозиции. Закон Кулона гласит, что сила взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$, находящихся на расстоянии $d$ друг от друга, равна $F = k \frac{|q_1 q_2|}{d^2}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

1. Расчет силы в точке C ($F_C$)

Когда пробный заряд $q_0 = \frac{q}{2}$ находится в точке C, на него действуют две силы:

• Сила $F_{AC}$ со стороны заряда $+q$ в точке A. Так как заряды одноименные ($+q$ и $+\frac{q}{2}$), это сила отталкивания, направленная вправо.
• Сила $F_{BC}$ со стороны заряда $-q$ в точке B. Так как заряды разноименные ($-q$ и $+\frac{q}{2}$), это сила притяжения, также направленная вправо.

Поскольку обе силы направлены в одну сторону (вправо), результирующая сила $F_C$ равна сумме их модулей:

$F_C = F_{AC} + F_{BC}$

Рассчитаем модули этих сил, учитывая, что $AC = r$ и $CB = r$:

$F_{AC} = k \frac{|(+q) \cdot (q/2)|}{AC^2} = k \frac{q^2}{2r^2}$

$F_{BC} = k \frac{|(-q) \cdot (q/2)|}{CB^2} = k \frac{q^2}{2r^2}$

Тогда суммарная сила в точке C равна:

$F_C = k \frac{q^2}{2r^2} + k \frac{q^2}{2r^2} = 2 \cdot k \frac{q^2}{2r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

2. Расчет силы в точке D ($F_D$)

Когда пробный заряд $q_0 = \frac{q}{2}$ находится в точке D, на него также действуют две силы:

• Сила $F_{AD}$ со стороны заряда $+q$ в точке A. Это сила отталкивания, направленная влево.
• Сила $F_{BD}$ со стороны заряда $-q$ в точке B. Это сила притяжения, направленная вправо.

Силы направлены в противоположные стороны. Результирующая сила $F_D$ будет равна разности их модулей. Найдем эти модули, учитывая, что расстояние $DA = r$, а расстояние $DB = DA + AC + CB = r + r + r = 3r$.

$F_{AD} = k \frac{|(+q) \cdot (q/2)|}{DA^2} = k \frac{q^2}{2r^2}$ (направлена влево)

$F_{BD} = k \frac{|(-q) \cdot (q/2)|}{DB^2} = k \frac{q^2}{2(3r)^2} = k \frac{q^2}{2 \cdot 9r^2} = k \frac{q^2}{18r^2}$ (направлена вправо)

Сравним модули: $\frac{1}{2} > \frac{1}{18}$, следовательно $F_{AD} > F_{BD}$. Результирующая сила $F_D$ будет направлена влево, а ее модуль равен:

$F_D = F_{AD} - F_{BD} = k \frac{q^2}{2r^2} - k \frac{q^2}{18r^2} = k \frac{q^2}{r^2} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{18}\right) = k \frac{q^2}{r^2} \left(\frac{9}{18} - \frac{1}{18}\right) = k \frac{q^2}{r^2} \cdot \frac{8}{18} = \frac{4}{9} k \frac{q^2}{r^2}$

3. Сравнение сил

Теперь сравним модули сил $F_C$ и $F_D$:

$F_C = k \frac{q^2}{r^2}$

$F_D = \frac{4}{9} k \frac{q^2}{r^2}$

Найдем их отношение:

$\frac{F_C}{F_D} = \frac{k \frac{q^2}{r^2}}{\frac{4}{9} k \frac{q^2}{r^2}} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} = 2.25$

Таким образом, $F_C = 2.25 \cdot F_D$, что означает, что сила в точке C больше силы в точке D.

Ответ: Сила, действующая на заряд в точке C, по модулю больше силы, действующей на тот же заряд в точке D, в 2.25 раза ($F_C > F_D$).