Страница 88 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

679. Какую среднюю мощность развивает двигатель мотоцикла, если при скорости движения 108 км/ч расход бензина составляет 3,7 л на 100 км пути, а КПД двигателя 25%?

Дано:

Найти:

Среднюю (полезную) мощность двигателя, $P_{полезная}$.

Решение:

Средняя полезная мощность двигателя $P_{полезная}$ определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$, совершенной двигателем, ко времени $t$, за которое эта работа была совершена.

$P_{полезная} = \frac{A_{полезная}}{t}$

Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя по определению равен отношению полезной работы к полной (затраченной) энергии $Q_{затраченная}$, полученной от сгорания топлива.

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{затраченная}}$

Из этой формулы мы можем выразить полезную работу: $A_{полезная} = \eta \cdot Q_{затраченная}$.

Затраченная энергия $Q_{затраченная}$ — это количество теплоты, которое выделяется при сгорании массы бензина $m$.

$Q_{затраченная} = q \cdot m$

Массу сгоревшего бензина $m$ найдем, зная его объем $V$ и плотность $\rho$.

$m = \rho \cdot V$

Подставим числовые значения для расчета массы бензина, израсходованного на пути $S = 100 \text{ км}$:

$m = 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3.7 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 2.775 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем полную энергию, выделившуюся при сгорании этой массы бензина:

$Q_{затраченная} = 4.6 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 2.775 \text{ кг} = 1.2765 \cdot 10^8 \text{ Дж}$

Зная полную энергию и КПД, найдем полезную работу, совершенную двигателем на пути $S$:

$A_{полезная} = 0.25 \cdot 1.2765 \cdot 10^8 \text{ Дж} = 3.19125 \cdot 10^7 \text{ Дж}$

Время $t$, за которое мотоцикл проехал путь $S$ со скоростью $v$, равно:

$t = \frac{S}{v} = \frac{10^5 \text{ м}}{30 \text{ м/с}} \approx 3333.33 \text{ с}$

Наконец, можем вычислить среднюю полезную мощность двигателя:

$P_{полезная} = \frac{A_{полезная}}{t} = \frac{3.19125 \cdot 10^7 \text{ Дж}}{3333.33 \text{ с}} \approx 9573.75 \text{ Вт}$

Переведем результат в киловатты для удобства:

$9573.75 \text{ Вт} = 9.57375 \text{ кВт} \approx 9.6 \text{ кВт}$

Ответ: средняя мощность, развиваемая двигателем мотоцикла, составляет примерно $9.6 \text{ кВт}$.

680*. Междугородный автобус прошёл путь $80 \text{ км}$ за $1 \text{ ч}$. Двигатель при этом развивал среднюю мощность $70 \text{ кВт}$ при КПД, равном $25\%$. Сколько дизельного топлива, плотность которого $800 \text{ кг/м}^3$, сэкономил водитель в рейсе, если норма расхода горючего $40 \text{ л}$ на $100 \text{ км}$ пути?

Дано:

$S = 80 \text{ км}$
$t = 1 \text{ ч}$
$P_{полезная} = 70 \text{ кВт}$
$\eta = 25\%$
$\rho = 800 \text{ кг/м}^3$
Норма расхода $= 40 \text{ л на } 100 \text{ км}$
$q = 4,2 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}$ (удельная теплота сгорания дизельного топлива - справочная величина)

$S = 80 \cdot 10^3 \text{ м}$
$t = 3600 \text{ с}$
$P_{полезная} = 70 \cdot 10^3 \text{ Вт}$
$\eta = 0,25$

Найти:

$\Delta V$ - ?

Решение:

Для того чтобы определить количество сэкономленного топлива, необходимо найти разницу между расходом по норме для пройденного пути и фактическим расходом топлива.

1. Сначала вычислим фактический расход топлива. Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя определяется как отношение полезной работы $A_{полезная}$ к затраченной энергии $Q_{затраченная}$, полученной в результате сгорания топлива:
$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{затраченная}}$

Полезная работа, совершенная двигателем за время $t$, вычисляется по формуле:
$A_{полезная} = P_{полезная} \cdot t$

Затраченная энергия — это количество теплоты, которое выделяется при сгорании фактической массы топлива $m_{факт}$:
$Q_{затраченная} = q \cdot m_{факт}$
где $q$ — удельная теплота сгорания дизельного топлива.

Объединив формулы, получаем выражение для КПД:
$\eta = \frac{P_{полезная} \cdot t}{q \cdot m_{факт}}$

Из этого выражения найдем массу фактически израсходованного топлива:
$m_{факт} = \frac{P_{полезная} \cdot t}{q \cdot \eta}$

Подставим числовые значения в системе СИ:
$m_{факт} = \frac{70 \cdot 10^3 \text{ Вт} \cdot 3600 \text{ с}}{4,2 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг} \cdot 0,25} = \frac{252 \cdot 10^6}{1,05 \cdot 10^7} \text{ кг} = 24 \text{ кг}$

Зная массу, найдем фактический объем израсходованного топлива $V_{факт}$, используя его плотность $\rho$:
$V_{факт} = \frac{m_{факт}}{\rho} = \frac{24 \text{ кг}}{800 \text{ кг/м}^3} = 0,03 \text{ м}^3$

Переведем объем в литры, зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$:
$V_{факт} = 0,03 \cdot 1000 \text{ л} = 30 \text{ л}$

2. Теперь вычислим нормативный расход топлива ($V_{норма}$) на пройденный путь $S = 80 \text{ км}$.
Из условия известно, что норма расхода составляет 40 литров на 100 км. Составим пропорцию:
$40 \text{ л} \quad — \quad 100 \text{ км}$
$V_{норма} \quad — \quad 80 \text{ км}$

Отсюда находим нормативный расход:
$V_{норма} = \frac{80 \text{ км} \cdot 40 \text{ л}}{100 \text{ км}} = \frac{3200}{100} \text{ л} = 32 \text{ л}$

3. Наконец, найдем объем сэкономленного топлива $\Delta V$ как разность между нормативным и фактическим расходом:
$\Delta V = V_{норма} - V_{факт}$
$\Delta V = 32 \text{ л} - 30 \text{ л} = 2 \text{ л}$

Ответ: водитель сэкономил 2 л дизельного топлива.

681*. Автомобиль массой $4.6$ т трогается с места на подъёме, равном $0.025$, и, двигаясь равноускоренно, за $40$ с проходит $200$ м. Найти расход бензина (в литрах) на этом участке, если коэффициент сопротивления $0.02$ и КПД равен $20\%$.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 4,6 \text{ т}$
Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (трогается с места)
Уклон, $i = 0,025$
Время движения, $t = 40 \text{ с}$
Пройденный путь, $S = 200 \text{ м}$
Коэффициент сопротивления, $\mu = 0,02$
КПД двигателя, $\eta = 20\%$
Удельная теплота сгорания бензина, $q = 4,6 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}$ (справочное значение)
Плотность бензина, $\rho_б = 750 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$m = 4,6 \cdot 1000 = 4600 \text{ кг}$
$\eta = 20\% = 0,2$

Найти:

Расход бензина, $V_б$

Решение:

1. Определим ускорение автомобиля. Поскольку движение равноускоренное и начинается из состояния покоя, используем формулу пути:

$S = \frac{at^2}{2}$

Отсюда находим ускорение $a$:

$a = \frac{2S}{t^2} = \frac{2 \cdot 200 \text{ м}}{(40 \text{ с})^2} = \frac{400}{1600} \text{ м/с}^2 = 0,25 \text{ м/с}^2$

2. Найдем силу тяги двигателя. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения (вверх по склону):

$ma = F_{тяги} - F_{сопр} - F_{тяж,x}$

Здесь $F_{тяги}$ – сила тяги, $F_{сопр}$ – сила сопротивления, $F_{тяж,x}$ – проекция силы тяжести на ось движения.

Уклон $i = 0,025$ для малого угла $\alpha$ подъема можно принять равным $i = \sin(\alpha)$. Тогда проекция силы тяжести: $F_{тяж,x} = mg \sin(\alpha)$.

Сила сопротивления $F_{сопр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции. На наклонной плоскости $N = mg \cos(\alpha)$. Так как $\alpha$ мал ($\sin(\alpha)=0,025$), то $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} \approx 1$. Поэтому можно считать, что $F_{сопр} \approx \mu mg$.

Выразим силу тяги:

$F_{тяги} = ma + F_{тяж,x} + F_{сопр} = ma + mg \sin(\alpha) + \mu mg = m(a + g(\sin(\alpha) + \mu))$

Подставим числовые значения:

$F_{тяги} = 4600 \text{ кг} \cdot (0,25 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,025 + 0,02))$

$F_{тяги} = 4600 \cdot (0,25 + 9,8 \cdot 0,045) = 4600 \cdot (0,25 + 0,441) = 4600 \cdot 0,691 = 3178,6 \text{ Н}$

3. Вычислим полезную работу $A_п$, совершенную двигателем. Она равна работе силы тяги на пути $S$:

$A_п = F_{тяги} \cdot S = 3178,6 \text{ Н} \cdot 200 \text{ м} = 635720 \text{ Дж}$

4. Определим полную (затраченную) энергию $Q_з$, полученную от сгорания топлива, используя КПД:

$\eta = \frac{A_п}{Q_з}$

$Q_з = \frac{A_п}{\eta} = \frac{635720 \text{ Дж}}{0,2} = 3178600 \text{ Дж}$

5. Найдем массу сгоревшего бензина $m_б$, зная удельную теплоту сгорания $q$:

$Q_з = q \cdot m_б$

$m_б = \frac{Q_з}{q} = \frac{3178600 \text{ Дж}}{4,6 \cdot 10^7 \text{ Дж/кг}} \approx 0,0691 \text{ кг}$

6. Найдем объем бензина $V_б$ по его массе и плотности $\rho_б$:

$V_б = \frac{m_б}{\rho_б} = \frac{0,0691 \text{ кг}}{750 \text{ кг/м}^3} \approx 9,21 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Переведем объем в литры ($1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$):

$V_б = 9,21 \cdot 10^{-5} \cdot 1000 = 0,0921 \text{ л}$

Ответ: расход бензина на этом участке составляет примерно 0,092 л.