Номер 748, страница 97 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

748. На рисунке 79, а показано расположение трёх заряженных пластин и их потенциалы. Начертить линии напряжённости электрического поля. Построить графики зависимости напряжённости (рис. 79, б) и распределения потенциала (рис. 79, в) от координаты x.

Дано:

Три параллельные бесконечные заряженные пластины.
Координата пластины 1: $x_1 = 0$, потенциал $φ_1 = φ_0$.
Координата пластины 2: $x_2 = d$, потенциал $φ_2 = 0$.
Координата пластины 3: $x_3 = 3d$, потенциал $φ_3 = φ_0$.

Найти:

1. Картину линий напряжённости электрического поля.
2. График зависимости напряжённости поля $E$ от координаты $x$, $E(x)$.
3. График распределения потенциала $φ$ от координаты $x$, $φ(x)$.

Решение:

Будем считать, что поле существует только в пространстве между пластинами, а за пределами крайних пластин поле равно нулю. Электрическое поле между двумя параллельными пластинами является однородным. Проекция вектора напряжённости электрического поля на ось $x$ связана с потенциалом соотношением: $E_x = -\frac{dφ}{dx}$. Для однородного поля эту формулу можно записать в виде $E_x = -\frac{Δφ}{Δx}$, где $Δφ$ — разность потенциалов, а $Δx$ — расстояние между точками.

Разобьём пространство на области и найдём напряжённость поля в каждой из них.
В области I ($0 < x < d$): $E_1 = -\frac{φ_2 - φ_1}{x_2 - x_1} = -\frac{0 - φ_0}{d - 0} = \frac{φ_0}{d}$. Поскольку $E_1 > 0$ (при условии $φ_0 > 0$), вектор напряжённости направлен вправо, вдоль оси $x$.

В области II ($d < x < 3d$): $E_2 = -\frac{φ_3 - φ_2}{x_3 - x_2} = -\frac{φ_0 - 0}{3d - d} = -\frac{φ_0}{2d}$. Поскольку $E_2 < 0$, вектор напряжённости направлен влево, против оси $x$.

Вне пластин ($x < 0$ и $x > 3d$) поле отсутствует, $E=0$.

Начертить линии напряжённости электрического поля

Линии напряжённости электрического поля — это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряжённости $\vec{E}$. Они направлены от большего потенциала к меньшему. В области I ($0 < x < d$) потенциал убывает от $φ_0$ до 0, поэтому линии напряжённости направлены от левой пластины к центральной (вправо). В области II ($d < x < 3d$) потенциал возрастает от 0 до $φ_0$, поэтому линии напряжённости направлены от правой пластины к центральной (влево). Густота линий напряжённости пропорциональна модулю напряжённости поля. Так как $|E_1| = \frac{φ_0}{d}$ и $|E_2| = \frac{φ_0}{2d}$, то $|E_1| = 2|E_2|$. Это означает, что в области I линии напряжённости должны быть в два раза гуще, чем в области II. Вне пластин поле равно нулю, линий напряжённости нет.

Ответ: В области между первой и второй пластинами ($0 < x < d$) линии напряжённости представляют собой параллельные прямые, направленные вправо. В области между второй и третьей пластинами ($d < x < 3d$) линии напряжённости — параллельные прямые, направленные влево. Густота линий в первой области вдвое больше, чем во второй. За пределами крайних пластин поле отсутствует.

Построить графики зависимости напряжённости (рис. 79, б)

График зависимости проекции напряжённости $E_x$ от координаты $x$ будет состоять из горизонтальных участков, так как в каждой из областей поле однородно.
- При $x < 0$, $E_x = 0$.
- При $0 < x < d$, $E_x = E_1 = \frac{φ_0}{d}$.
- При $d < x < 3d$, $E_x = E_2 = -\frac{φ_0}{2d}$.
- При $x > 3d$, $E_x = 0$.
В точках $x=0$, $x=d$ и $x=3d$ напряжённость испытывает скачки.

Ответ: График $E(x)$ имеет вид ступенчатой функции. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(3d, +\infty)$ график совпадает с осью абсцисс ($E=0$). На интервале $(0, d)$ график представляет собой горизонтальную прямую на уровне $E = φ_0/d$. На интервале $(d, 3d)$ график — горизонтальная прямая на уровне $E = -φ_0/(2d)$. В точках $x=0, d, 3d$ функция имеет разрывы.

и распределения потенциала (рис. 79, в) от координаты x

Потенциал $φ(x)$ является непрерывной функцией. Его можно найти, зная, что $E_x = -dφ/dx$, то есть наклон графика $φ(x)$ равен $-E_x$.
- При $x \le 0$: $E_x = 0$, следовательно, $φ(x)$ — константа. Так как $φ(0) = φ_1 = φ_0$, то $φ(x) = φ_0$.
- При $0 < x < d$: $E_x = \frac{φ_0}{d}$, наклон графика $φ(x)$ равен $-\frac{φ_0}{d}$. Потенциал линейно убывает от $φ(0)=φ_0$ до $φ(d) = φ(0) - E_1 \cdot d = φ_0 - \frac{φ_0}{d} \cdot d = 0$.
- При $d < x < 3d$: $E_x = -\frac{φ_0}{2d}$, наклон графика $φ(x)$ равен $-(-\frac{φ_0}{2d}) = \frac{φ_0}{2d}$. Потенциал линейно возрастает от $φ(d)=0$ до $φ(3d) = φ(d) - E_2 \cdot (3d-d) = 0 - (-\frac{φ_0}{2d}) \cdot 2d = φ_0$.
- При $x \ge 3d$: $E_x = 0$, следовательно, $φ(x)$ — константа. Так как $φ(3d) = φ_3 = φ_0$, то $φ(x) = φ_0$.

Ответ: График $φ(x)$ представляет собой ломаную линию. На луче $(-\infty, 0]$ — горизонтальная прямая $φ = φ_0$. На отрезке $[0, d]$ — прямая, соединяющая точки $(0, φ_0)$ и $(d, 0)$. На отрезке $[d, 3d]$ — прямая, соединяющая точки $(d, 0)$ и $(3d, φ_0)$. На луче $[3d, +\infty)$ — горизонтальная прямая $φ = φ_0$.