Номер 657, страница 85 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

30. Изменение внутренней энергии тел в процессе теплопередачи. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 657, страница 85.

Условие.

657. До какой температуры следует нагреть алюминиевый куб, чтобы, поставленный на лёд, он мог полностью в него погрузиться? Температура льда 0 °С.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Материал куба — алюминий
Температура льда: $t_{л} = 0 \text{ °C}$
Условие: куб полностью погружается в лёд.
Справочные данные:
Удельная теплоёмкость алюминия, $c_{Al} = 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Плотность алюминия, $\rho_{Al} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Удельная теплота плавления льда, $\lambda_{л} = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Плотность льда, $\rho_{л} = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Все данные представлены в системе СИ или в согласованных с ней единицах (например, °C для разности температур эквивалентен K), поэтому перевод в другие единицы не требуется.

Найти:

$t_{Al}$ — начальная температура алюминиевого куба.

Решение:

Чтобы алюминиевый куб полностью погрузился в лёд, он должен растопить под собой объём льда, равный собственному объёму. Обозначим ребро куба как $a$, тогда его объём $V = a^3$.

Масса алюминиевого куба выражается через его плотность и объём: $m_{Al} = \rho_{Al} \cdot V$

Масса льда, которую необходимо растопить, чтобы освободить для куба место, равна: $m_{л} = \rho_{л} \cdot V$

При контакте горячего куба со льдом происходит теплообмен. Куб отдает теплоту, остывая от своей начальной температуры $t_{Al}$ до конечной температуры. Лёд поглощает эту теплоту и плавится. Так как лёд находится при температуре плавления ($0 \text{ °C}$) и его количество велико, то конечная температура системы (остывшего куба и образовавшейся воды) установится на уровне $t_{f} = 0 \text{ °C}$.

Количество теплоты $Q_{отд}$, отданное алюминиевым кубом при остывании, рассчитывается по формуле: $Q_{отд} = c_{Al} \cdot m_{Al} \cdot (t_{Al} - t_{f})$ Подставим выражение для массы куба и значение конечной температуры: $Q_{отд} = c_{Al} \cdot (\rho_{Al} \cdot V) \cdot (t_{Al} - 0) = c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot V \cdot t_{Al}$

Количество теплоты $Q_{получ}$, которое получил лёд для плавления, рассчитывается по формуле: $Q_{получ} = \lambda_{л} \cdot m_{л}$ Подставим выражение для массы льда: $Q_{получ} = \lambda_{л} \cdot (\rho_{л} \cdot V)$

Согласно уравнению теплового баланса, количество отданной теплоты равно количеству полученной теплоты: $Q_{отд} = Q_{получ}$ $c_{Al} \cdot \rho_{Al} \cdot V \cdot t_{Al} = \lambda_{л} \cdot \rho_{л} \cdot V$

В этом уравнении объём куба $V$ присутствует в обеих частях, поэтому его можно сократить. Это означает, что результат не зависит от размера куба. Выразим искомую температуру $t_{Al}$: $t_{Al} = \frac{\lambda_{л} \cdot \rho_{л}}{c_{Al} \cdot \rho_{Al}}$

Теперь подставим числовые значения физических величин: $t_{Al} = \frac{(3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}) \cdot (900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}{(920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}) \cdot (2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}$

Проведем вычисления: $t_{Al} = \frac{3.3 \cdot 10^5 \cdot 900}{920 \cdot 2700} = \frac{3.3 \cdot 10^5}{920 \cdot 3} = \frac{1.1 \cdot 10^5}{920} = \frac{110000}{920} = \frac{11000}{92} \approx 119.565... \text{ °C}$

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем: $t_{Al} \approx 119.6 \text{ °C}$

Ответ: чтобы алюминиевый куб полностью погрузился в лёд, его следует нагреть до температуры примерно $119.6 \text{ °C}$.