Номер 647, страница 84 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

30. Изменение внутренней энергии тел в процессе теплопередачи. Глава VI. Основы термодинамики. Молекулярная физика и термодинамика - номер 647, страница 84.

Условие.

647*. После опускания в воду, имеющую температуру $10^{\circ}\text{C}$, тела, нагретого до $100^{\circ}\text{C}$, через некоторое время установилась общая температура $40^{\circ}\text{C}$. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в неё опустить ещё одно такое же тело, нагретое до $100^{\circ}\text{C}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Начальная температура воды, $t_в = 10 \text{ °C}$
Начальная температура первого тела, $t_{т1} = 100 \text{ °C}$
Общая температура после первого погружения, $\theta_1 = 40 \text{ °C}$
Начальная температура второго тела, $t_{т2} = 100 \text{ °C}$

Поскольку в уравнениях теплового баланса используются разности температур, перевод в систему СИ (Кельвины) не является обязательным, так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах ($\Delta t \text{ [°C]} = \Delta T \text{ [K]}$).

Найти:

Конечная общая температура после погружения второго тела, $\theta_2$ - ?

Решение:

Задача решается в два этапа с использованием уравнения теплового баланса. Предполагается, что система теплоизолирована, то есть теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

Этап 1: Погружение первого тела.

При погружении первого нагретого тела в холодную воду, вода получает теплоту, а тело отдает ее до тех пор, пока их температуры не станут равными $\theta_1$.

Количество теплоты, полученное водой: $Q_{полученное} = c_в m_в (\theta_1 - t_в)$.

Количество теплоты, отданное телом: $Q_{отданное} = c_т m_т (t_{т1} - \theta_1)$.

Здесь $c_в$ и $c_т$ — удельные теплоемкости воды и материала тела, а $m_в$ и $m_т$ — их массы.

Согласно уравнению теплового баланса, количество полученной теплоты равно количеству отданной: $Q_{полученное} = Q_{отданное}$.

$c_в m_в (\theta_1 - t_в) = c_т m_т (t_{т1} - \theta_1)$

Подставим известные значения температур:

$c_в m_в (40 \text{ °C} - 10 \text{ °C}) = c_т m_т (100 \text{ °C} - 40 \text{ °C})$

$c_в m_в \cdot 30 = c_т m_т \cdot 60$

Из этого уравнения мы можем найти соотношение между теплоемкостями воды ($C_в = c_в m_в$) и тела ($C_т = c_т m_т$):

$30 C_в = 60 C_т$

$C_в = 2 C_т$

Это означает, что теплоемкость всего объема воды в два раза больше теплоемкости одного тела.

Этап 2: Погружение второго тела.

Теперь в систему, состоящую из воды и первого тела (оба при температуре $\theta_1 = 40 \text{ °C}$), опускают второе такое же тело, нагретое до температуры $t_{т2} = 100 \text{ °C}$. В результате теплообмена устанавливается новая общая температура $\theta_2$.

Количество теплоты, полученное водой и первым телом (которые нагреваются от $\theta_1$ до $\theta_2$):

$Q'_{полученное} = (c_в m_в + c_т m_т)(\theta_2 - \theta_1) = (C_в + C_т)(\theta_2 - \theta_1)$

Количество теплоты, отданное вторым телом (которое остывает от $t_{т2}$ до $\theta_2$):

$Q'_{отданное} = c_т m_т (t_{т2} - \theta_2) = C_т (t_{т2} - \theta_2)$

Снова применяем уравнение теплового баланса $Q'_{полученное} = Q'_{отданное}$:

$(C_в + C_т)(\theta_2 - \theta_1) = C_т (t_{т2} - \theta_2)$

Используем найденное на первом этапе соотношение $C_в = 2 C_т$ и подставляем известные температуры:

$(2 C_т + C_т)(\theta_2 - 40 \text{ °C}) = C_т (100 \text{ °C} - \theta_2)$

$3 C_т (\theta_2 - 40) = C_т (100 - \theta_2)$

Сокращаем обе части уравнения на $C_т$ (так как теплоемкость тела не равна нулю):

$3(\theta_2 - 40) = 100 - \theta_2$

Раскрываем скобки и решаем уравнение относительно $\theta_2$:

$3\theta_2 - 120 = 100 - \theta_2$

$3\theta_2 + \theta_2 = 100 + 120$

$4\theta_2 = 220$

$\theta_2 = \frac{220}{4} = 55 \text{ °C}$

Ответ: температура воды станет 55 °C.