Номер 703, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

703. Заряды по 0,1 мкКл расположены на расстоянии 6 см друг от друга. Найти напряжённость поля в точке, удалённой на 5 см от каждого из зарядов. Решить эту задачу для случаев:

а) оба заряда положительные;

б) один заряд положительный, а другой отрицательный.

Дано:

$|q_1| = |q_2| = q = 0.1 \text{ мкКл}$

$d = 6 \text{ см}$

$r = 5 \text{ см}$

$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2 / \text{Кл}^2$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$q = 0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 10^{-7} \text{ Кл}$

$d = 0.06 \text{ м}$

$r = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$E_a$ - напряжённость поля для случая а)

$E_b$ - напряжённость поля для случая б)

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, напряжённость результирующего поля в точке P равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Два заряда $q_1$ и $q_2$ и точка P, в которой ищется напряжённость, образуют равнобедренный треугольник с основанием $d$ и боковыми сторонами $r$.

Поскольку расстояния от зарядов до точки P и модули зарядов одинаковы, то и модули напряжённостей полей, создаваемых ими, также равны:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{q}{r^2}$

Вычислим это значение:

$E = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{(0.05)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{10^{-7}}{0.0025} = \frac{9 \cdot 10^2}{0.0025} = 360000 \text{ В/м} = 3.6 \cdot 10^5 \text{ В/м}$

Рассмотрим два случая.

а) оба заряда положительные

В этом случае векторы напряжённости $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены от своих зарядов вдоль боковых сторон равнобедренного треугольника. Результирующий вектор $\vec{E}_a$ будет направлен по высоте этого треугольника, опущенной на основание, в сторону от зарядов.

Для нахождения модуля $E_a$ воспользуемся методом проекций. Расположим основание треугольника на оси Ox, а его середину в начале координат. Тогда заряды будут иметь координаты $(-d/2, 0)$ и $(d/2, 0)$, а точка P — $(0, h)$. Высоту треугольника $h$ найдем по теореме Пифагора:

$h = \sqrt{r^2 - (d/2)^2} = \sqrt{(0.05)^2 - (0.06/2)^2} = \sqrt{0.0025 - 0.0009} = \sqrt{0.0016} = 0.04 \text{ м}$

Горизонтальные проекции векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ взаимно компенсируются, а вертикальные складываются. Модуль результирующего вектора равен сумме проекций на ось Y:

$E_a = E_{1y} + E_{2y} = E \cos\alpha + E \cos\alpha = 2E \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между вектором напряжённости и осью Y (высотой). Из геометрии треугольника $\cos\alpha = \frac{h}{r}$.

$E_a = 2E \frac{h}{r} = 2 \cdot (3.6 \cdot 10^5) \cdot \frac{0.04}{0.05} = 7.2 \cdot 10^5 \cdot 0.8 = 5.76 \cdot 10^5 \text{ В/м}$

Ответ: $E_a = 5.76 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.

б) один заряд положительный, а другой отрицательный

Пусть $q_1$ — положительный, а $q_2$ — отрицательный. Тогда вектор $\vec{E}_1$ направлен от заряда $q_1$, а вектор $\vec{E}_2$ — к заряду $q_2$. В той же системе координат вертикальные проекции векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ теперь будут направлены в противоположные стороны и взаимно компенсируются. Горизонтальные же проекции будут направлены в одну сторону (вдоль оси Ox) и сложатся.

Результирующий вектор $\vec{E}_b$ будет направлен параллельно основанию треугольника (линии, соединяющей заряды) от положительного заряда к отрицательному. Его модуль равен:

$E_b = E_{1x} + E_{2x} = E \sin\alpha + E \sin\alpha = 2E \sin\alpha$

где $\alpha$ — тот же угол, что и в пункте а). Из геометрии треугольника $\sin\alpha = \frac{d/2}{r}$.

$E_b = 2E \frac{d/2}{r} = E \frac{d}{r} = (3.6 \cdot 10^5) \cdot \frac{0.06}{0.05} = 3.6 \cdot 10^5 \cdot 1.2 = 4.32 \cdot 10^5 \text{ В/м}$

Ответ: $E_b = 4.32 \cdot 10^5 \text{ В/м}$.