Номер 708, страница 92 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

708. Шарик массой $m$, несущий заряд $q$, падает в однородном электрическом поле напряжённостью $\vec{E}$. Линии напряжённости направлены параллельно поверхности земли. Каково движение шарика? Написать уравнение траектории $y=y(x)$, направив ось $X$ параллельно вектору напряжённости, а ось $Y$ вертикально вниз. Начальная скорость шарика равна нулю, сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q$

Напряженность электрического поля: $\vec{E}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Характер движения шарика, уравнение траектории $y(x)$.

Решение:

Введем систему координат, как указано в условии задачи: ось X направим параллельно вектору напряженности $\vec{E}$ (горизонтально), а ось Y — вертикально вниз. Начало отсчета поместим в точку, из которой шарик начинает падение.

На шарик действуют две постоянные силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, вдоль положительного направления оси Y. Ее проекция на ось Y равна $F_{gy} = mg$.
2. Электрическая сила $\vec{F_e}$, действующая со стороны однородного электрического поля. Так как линии напряженности направлены параллельно поверхности земли, эта сила будет горизонтальной. По условию, ось X направлена параллельно вектору $\vec{E}$, поэтому сила $\vec{F_e}$ направлена вдоль положительного направления оси X. Ее проекция на ось X равна $F_{ex} = qE$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сила равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{F_e}$.

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат:

На ось X: $ma_x = F_{ex} \Rightarrow ma_x = qE$. Отсюда находим проекцию ускорения на ось X:

$a_x = \frac{qE}{m}$

На ось Y: $ma_y = F_{gy} \Rightarrow ma_y = mg$. Отсюда находим проекцию ускорения на ось Y:

$a_y = g$

Поскольку величины $q, E, m, g$ являются постоянными, проекции ускорения $a_x$ и $a_y$ также постоянны. Это означает, что вектор ускорения $\vec{a} = (a_x, a_y)$ является постоянным как по модулю, так и по направлению. Движение с постоянным ускорением называется равноускоренным. Так как начальная скорость шарика равна нулю ($v_0 = 0$), вектор скорости в любой момент времени $t$ будет сонаправлен вектору ускорения: $\vec{v}(t) = \vec{a}t$. Поскольку вектор ускорения не меняет своего направления, движение будет происходить вдоль прямой линии. Таким образом, движение шарика является равноускоренным и прямолинейным.

Для нахождения уравнения траектории $y = y(x)$ запишем законы движения для координат $x$ и $y$ в зависимости от времени $t$. Для равноускоренного движения из состояния покоя ($v_0=0$) из начала координат ($x_0=0, y_0=0$) имеем:

$x(t) = \frac{a_x t^2}{2} = \frac{qE t^2}{2m}$

$y(t) = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{g t^2}{2}$

Чтобы получить зависимость $y$ от $x$, необходимо исключить из этих уравнений время $t$. Выразим $t^2$ из второго уравнения:

$t^2 = \frac{2y}{g}$

Теперь подставим это выражение для $t^2$ в первое уравнение:

$x = \frac{qE}{2m} \left(\frac{2y}{g}\right) = \frac{qEy}{mg}$

Наконец, выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение траектории в виде $y(x)$:

$y = \frac{mg}{qE} x$

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат, что подтверждает вывод о прямолинейном движении.

Ответ: Движение шарика является равноускоренным и прямолинейным. Уравнение траектории имеет вид $y(x) = \frac{mg}{qE}x$.