Номер 812, страница 106 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

37. Работа и мощность тока. Глава VIII. Законы постоянного тока. Электродинамика - номер 812, страница 106.

Условие.

812. Какой длины надо взять никелиновую проволоку площадью поперечного сечения $0,84 \text{ мм}^2$, чтобы изготовить нагреватель на $220 \text{ В}$, при помощи которого можно было бы нагреть $2 \text{ л}$ воды от $20 \,^\circ\text{С}$ до кипения за $10 \text{ мин}$ при $\text{КПД}$ $80\%$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дано:

Площадь поперечного сечения, $S = 0,84 \text{ мм}^2$

Напряжение, $U = 220 \text{ В}$

Объем воды, $V = 2 \text{ л}$

Начальная температура воды, $t_1 = 20 \text{ °C}$

Конечная температура воды, $t_2 = 100 \text{ °C}$

Время нагрева, $t = 10 \text{ мин}$

КПД, $\eta = 80\%$

Удельное сопротивление никелина, $\rho_{\text{никелина}} = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Плотность воды, $\rho_{\text{воды}} = 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}}$

$S = 0,84 \text{ мм}^2 = 0,84 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$V = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$t = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

$\eta = 80\% = 0,8$

Найти:

Длину проволоки, $l$.

Решение:

1. Найдем количество теплоты ($Q_{\text{полезн}}$), которое необходимо сообщить воде для нагрева от начальной температуры до температуры кипения. Сначала определим массу воды:

$m = \rho_{\text{воды}} \cdot V = 1 \frac{\text{кг}}{\text{л}} \cdot 2 \text{ л} = 2 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем полезную теплоту по формуле:

$Q_{\text{полезн}} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

$Q_{\text{полезн}} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (100 \text{°C} - 20 \text{°C}) = 4200 \cdot 2 \cdot 80 = 672000 \text{ Дж}$

2. Учитывая КПД нагревателя, найдем общее количество теплоты ($Q_{\text{затр}}$), которое должен выделить нагреватель. КПД определяется как отношение полезной работы (теплоты) к затраченной:

$\eta = \frac{Q_{\text{полезн}}}{Q_{\text{затр}}}$

Отсюда, полная затраченная энергия равна:

$Q_{\text{затр}} = \frac{Q_{\text{полезн}}}{\eta} = \frac{672000 \text{ Дж}}{0,8} = 840000 \text{ Дж}$

3. Энергия, выделяемая нагревателем за время $t$, равна работе электрического тока и находится по закону Джоуля-Ленца:

$Q_{\text{затр}} = P \cdot t = \frac{U^2}{R} \cdot t$

где $R$ - сопротивление проволоки. Выразим из этой формулы сопротивление:

$R = \frac{U^2 \cdot t}{Q_{\text{затр}}} = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 600 \text{ с}}{840000 \text{ Дж}} = \frac{48400 \cdot 600}{840000} \text{ Ом} = \frac{29040000}{840000} \text{ Ом} = \frac{2904}{84} \text{ Ом} = \frac{242}{7} \text{ Ом}$

4. Сопротивление проводника связано с его длиной $l$, площадью поперечного сечения $S$ и удельным сопротивлением материала $\rho_{\text{никелина}}$ формулой:

$R = \frac{\rho_{\text{никелина}} \cdot l}{S}$

Выразим искомую длину $l$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho_{\text{никелина}}}$

Подставим числовые значения. Для удобства вычислений будем использовать $S$ в $\text{мм}^2$ и $\rho_{\text{никелина}}$ в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$:

$l = \frac{\frac{242}{7} \text{ Ом} \cdot 0,84 \text{ мм}^2}{0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = \frac{242}{7} \cdot \frac{0,84}{0,42} \text{ м} = \frac{242}{7} \cdot 2 \text{ м} = \frac{484}{7} \text{ м} \approx 69,14 \text{ м}$

Ответ:

длина никелиновой проволоки должна быть примерно $69,14$ м.