Номер 850, страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

850. В однородное магнитное поле индукцией $B = 10\ \text{мТл}$ перпендикулярно линиям индукции влетает электрон с кинетической энергией $W_{\text{к}} = 30\ \text{кэВ}$. Каков радиус кривизны траектории движения электрона в поле?

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 10 \text{ мТл}$
Кинетическая энергия электрона $W_к = 30 \text{ кэВ}$
Масса электрона $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
Заряд электрона $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Переведем данные в систему СИ:

$B = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.01 \text{ Тл}$
$W_к = 30 \cdot 10^3 \text{ эВ} = 30 \cdot 10^3 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 4.806 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$

Найти:

Радиус кривизны траектории электрона $R$.

Решение:

На электрон, влетающий в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца. Эта сила перпендикулярна скорости электрона и заставляет его двигаться по окружности. Сила Лоренца в данном случае является центростремительной силой.

Сила Лоренца: $F_Л = e v B$, где $v$ — скорость электрона.

Второй закон Ньютона для движения по окружности: $F_ц = \frac{p v}{R}$, где $p$ — импульс электрона, а $R$ — радиус окружности. Для релятивистской частицы $p = \gamma m_e v$, где $\gamma$ — фактор Лоренца. Центростремительная сила записывается как $F_ц = \frac{\gamma m_e v^2}{R}$.

Приравнивая силу Лоренца и центростремительную силу: $e v B = \frac{\gamma m_e v^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус кривизны: $R = \frac{\gamma m_e v}{e B} = \frac{p}{e B}$

Кинетическая энергия электрона $W_к = 30 \text{ кэВ}$ сравнима с его энергией покоя $E_0 = m_e c^2 \approx 511 \text{ кэВ}$. Это означает, что скорость электрона велика, и необходимо использовать релятивистские формулы для импульса и энергии.

Связь между полной энергией $E$, энергией покоя $E_0$ и импульсом $p$ дается соотношением: $E^2 = (p c)^2 + E_0^2$

Полная энергия $E$ равна сумме энергии покоя и кинетической энергии: $E = E_0 + W_к$

Подставим это в предыдущее уравнение: $(E_0 + W_к)^2 = (p c)^2 + E_0^2$

$E_0^2 + 2 E_0 W_к + W_к^2 = (p c)^2 + E_0^2$

$(p c)^2 = W_к^2 + 2 E_0 W_к = W_к (W_к + 2 E_0)$

Отсюда выражаем импульс $p$: $p = \frac{\sqrt{W_к (W_к + 2 m_e c^2)}}{c}$

Теперь подставим выражение для импульса в формулу для радиуса: $R = \frac{p}{e B} = \frac{\sqrt{W_к (W_к + 2 m_e c^2)}}{c e B}$

Рассчитаем энергию покоя электрона $E_0 = m_e c^2$: $E_0 = 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь вычислим радиус, подставляя числовые значения: $R = \frac{\sqrt{4.806 \cdot 10^{-15} \text{ Дж} \cdot (4.806 \cdot 10^{-15} \text{ Дж} + 2 \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж})}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 0.01 \text{ Тл}}$

$R = \frac{\sqrt{4.806 \cdot 10^{-15} \cdot (0.04806 \cdot 10^{-13} + 1.6398 \cdot 10^{-13})}}{4.806 \cdot 10^{-13}} = \frac{\sqrt{4.806 \cdot 10^{-15} \cdot 1.68786 \cdot 10^{-13}}}{4.806 \cdot 10^{-13}}$

$R = \frac{\sqrt{8.112 \cdot 10^{-28}}}{4.806 \cdot 10^{-13}} = \frac{2.848 \cdot 10^{-14}}{4.806 \cdot 10^{-13}} \approx 0.05926 \text{ м}$

$R \approx 5.93 \text{ см}$

Ответ: радиус кривизны траектории электрона в поле составляет приблизительно $5.93 \text{ см}$.