Страница 141 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1062. На всю поверхность собирающей линзы, имеющей диаметр $D$ и фокусное расстояние $F$, направлен пучок лучей, параллельных главной оптической оси. На каком расстоя- нии $L$ от линзы надо поставить экран, чтобы на нём получил- ся светлый круг диаметром $d$?

Дано

Диаметр собирающей линзы: $D$
Фокусное расстояние линзы: $F$
Диаметр светлого круга на экране: $d$

Найти:

Расстояние от линзы до экрана: $L$

Решение

Пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после прохождения через собирающую линзу сходится в ее главном фокусе. Главный фокус расположен на расстоянии $F$ от оптического центра линзы. Если бы экран находился в фокальной плоскости (т.е. на расстоянии $L=F$ от линзы), то диаметр светлого пятна был бы равен нулю (в приближении геометрической оптики).

Поскольку на экране образуется светлый круг конечного диаметра $d$, это означает, что экран не находится в фокальной плоскости. Для анализа хода лучей воспользуемся методом подобных треугольников.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Первый (большой) треугольник образуется крайними лучами пучка, сходящимися в фокусе. Его катеты равны фокусному расстоянию $F$ и радиусу линзы $D/2$. Второй (малый) треугольник подобен первому, и его катеты равны расстоянию от экрана до фокальной плоскости $|L-F|$ и радиусу светлого круга на экране $d/2$.

Из подобия треугольников следует пропорция их катетов:

$\frac{d/2}{D/2} = \frac{|L - F|}{F}$

Упрощая это выражение, получаем:

$\frac{d}{D} = \frac{|L - F|}{F}$

Отсюда можно выразить расстояние от экрана до фокуса:

$|L - F| = F \frac{d}{D}$

Это уравнение с модулем имеет два решения, так как экран может быть расположен как до фокуса, так и после него относительно линзы.

1. Экран находится между линзой и фокусом ($L < F$). В этом случае $|L - F| = F - L$. Подставляем в уравнение:

$F - L = F \frac{d}{D}$

Выражаем $L$:

$L_1 = F - F \frac{d}{D} = F \left(1 - \frac{d}{D}\right)$

2. Экран находится за фокусом ($L > F$). В этом случае $|L - F| = L - F$. Подставляем в уравнение:

$L - F = F \frac{d}{D}$

Выражаем $L$:

$L_2 = F + F \frac{d}{D} = F \left(1 + \frac{d}{D}\right)$

Следовательно, существуют два возможных положения экрана, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $L = F \left(1 \pm \frac{d}{D}\right)$, то есть существуют два возможных расстояния: $L_1 = F \left(1 - \frac{d}{D}\right)$ и $L_2 = F \left(1 + \frac{d}{D}\right)$.

1063. В каком случае линза, находящаяся в ящике (рис. 116), будет собирающей и в каком — рассеивающей? Найти построением оптический центр и фокус линзы в каждом случае.

Рис. 116

а) На рисунке а) параллельный пучок световых лучей (1 и 2), падающий на линзу, после прохождения через неё становится расходящимся (лучи 1' и 2'). Линза, которая преобразует параллельный пучок света в расходящийся, является рассеивающей.

Для определения положения оптического центра $O$ и фокуса $F$ линзы выполним следующие геометрические построения:

1. Поскольку падающие лучи 1 и 2 параллельны друг другу, они параллельны и главной оптической оси. Главная оптическая ось — это прямая, проходящая на одинаковом расстоянии от лучей 1 и 2.
2. У рассеивающей линзы лучи, параллельные главной оптической оси, после преломления расходятся так, как будто они вышли из одной точки — мнимого главного фокуса $F$. Чтобы найти эту точку, нужно продолжить вышедшие лучи 1' и 2' в обратную сторону (вправо) до их пересечения. Точка пересечения и есть главный фокус $F$, который лежит на главной оптической оси.
3. Главная плоскость линзы — это плоскость, в которой происходит преломление лучей. Чтобы её найти, нужно продолжить падающий луч 1 вперёд, а выходящий луч 1' — назад, до их пересечения. Точка пересечения принадлежит главной плоскости. Аналогичная точка находится для лучей 2 и 2'. Прямая, соединяющая эти две точки, и есть главная плоскость линзы.
4. Оптический центр $O$ — это точка пересечения главной плоскости линзы с её главной оптической осью.

Ответ: В случае а) линза является рассеивающей. Построение для нахождения оптического центра $O$ и фокуса $F$ показано на рисунке.

б) На рисунке б) параллельный пучок световых лучей (1 и 2) после прохождения через линзу становится сходящимся (лучи 1' и 2' направлены к одной точке). Линза, которая преобразует параллельный пучок света в сходящийся, является собирающей.

Построения для нахождения оптического центра $O$ и фокуса $F$ аналогичны случаю с рассеивающей линзой, но с ключевым отличием в нахождении фокуса:

1. Главная оптическая ось также проходит параллельно и на равном удалении от падающих лучей 1 и 2.
2. У собирающей линзы лучи, параллельные главной оптической оси, после преломления пересекаются в одной точке — действительном главном фокусе $F$. Чтобы найти эту точку, нужно продолжить выходящие лучи 1' и 2' по направлению их распространения до точки пересечения. Эта точка и есть главный фокус $F$.
3. Главная плоскость и оптический центр $O$ находятся так же, как и в предыдущем случае: через пересечение продолжений падающих и выходящих лучей и последующее пересечение с главной оптической осью.

Ответ: В случае б) линза является собирающей. Построение для нахождения оптического центра $O$ и фокуса $F$ показано на рисунке.

1064. Свеча находится на расстоянии 12,5 см от собирающей линзы, оптическая сила которой равна 10 дптр. На каком расстоянии от линзы получится изображение и каким оно будет?

Дано:

Расстояние от свечи до линзы, $d = 12,5 \text{ см} = 0,125 \text{ м}$

Оптическая сила собирающей линзы, $D = 10 \text{ дптр} = 10 \text{ м}^{-1}$

Найти:

Расстояние от линзы до изображения, $f$

Характеристики изображения

Решение:

Для нахождения расстояния до изображения и его характеристик воспользуемся формулой тонкой линзы:

$$ D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$

где $D$ — оптическая сила линзы, $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения. Для собирающей линзы оптическая сила $D$ положительна.

Выразим из формулы величину $\frac{1}{f}$:

$$ \frac{1}{f} = D - \frac{1}{d} $$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$$ \frac{1}{f} = 10 \text{ м}^{-1} - \frac{1}{0,125 \text{ м}} $$

Выполним вычисления:

$$ \frac{1}{f} = 10 \text{ м}^{-1} - 8 \text{ м}^{-1} = 2 \text{ м}^{-1} $$

Отсюда находим расстояние от линзы до изображения $f$:

$$ f = \frac{1}{2 \text{ м}^{-1}} = 0,5 \text{ м} = 50 \text{ см} $$

Теперь определим характеристики изображения.

1. Так как расстояние до изображения $f = 50 \text{ см}$ является положительной величиной ($f > 0$), изображение действительное. Оно формируется по другую сторону линзы от предмета.

2. Найдем линейное увеличение линзы $Г$, которое показывает, во сколько раз размер изображения больше или меньше размера предмета:

$$ Г = \frac{|f|}{d} $$

Подставим значения:

$$ Г = \frac{50 \text{ см}}{12,5 \text{ см}} = 4 $$

Поскольку увеличение $Г = 4$, то есть $Г > 1$, изображение является увеличенным в 4 раза.

3. Для одиночной собирающей линзы действительное изображение всегда является перевернутым.

Таким образом, изображение, которое дает линза, является действительным, увеличенным и перевернутым.

Ответ:

Изображение получится на расстоянии 50 см от линзы. Изображение будет действительным, перевернутым и увеличенным.

1065. Предмет расположен в 25 см от собирающей линзы с радиусами кривизны поверхностей 20 см. Определить показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, если действительное изображение предмета получилось на расстоянии 1 м от неё.

Дано:

Расстояние от предмета до линзы $d = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$
Радиус кривизны поверхностей линзы $R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
Расстояние от линзы до изображения $f = 1 \text{ м}$

Найти:

Показатель преломления стекла $n$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами оптики: формулой тонкой линзы и формулой изготовителя линзы (формулой шлифовщика).

1. Сначала найдем фокусное расстояние линзы $F$, используя формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$
где $d$ – расстояние от предмета до линзы, а $f$ – расстояние от линзы до изображения. Так как изображение действительное, перед $1/f$ ставится знак «+».

Подставим известные значения в систему СИ:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.25 \text{ м}} + \frac{1}{1 \text{ м}} = 4 \text{ м}^{-1} + 1 \text{ м}^{-1} = 5 \text{ м}^{-1}$
Отсюда фокусное расстояние линзы:
$F = \frac{1}{5} \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

2. Теперь воспользуемся формулой изготовителя линзы, чтобы найти показатель преломления $n$:
$\frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$
В условии сказано, что линза собирающая и радиусы кривизны ее поверхностей равны. Это означает, что линза двояковыпуклая. Согласно правилу знаков, для двояковыпуклой линзы радиус первой (по ходу луча) поверхности $R_1$ положителен, а радиус второй поверхности $R_2$ отрицателен. Таким образом, $R_1 = R = 0.2 \text{ м}$ и $R_2 = -R = -0.2 \text{ м}$.

Подставим эти значения в формулу. Обратите внимание, что в формуле часто используется разность, но с учетом знака $R_2$ мы получим сумму:
$\frac{1}{F} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (n - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = (n - 1) \frac{2}{R}$

Выразим из этой формулы показатель преломления $n$:
$n - 1 = \frac{R}{2F}$
$n = 1 + \frac{R}{2F}$

Подставим численные значения $F$ и $R$:
$n = 1 + \frac{0.2 \text{ м}}{2 \cdot 0.2 \text{ м}} = 1 + \frac{0.2}{0.4} = 1 + 0.5 = 1.5$

Ответ: показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза, равен 1.5.

1066. Рассматривая предмет в собирающую линзу, его располагают на расстоянии 4 см от неё. При этом получают мнимое изображение, в 5 раз большее самого предмета. Какова оптическая сила линзы?

Дано:

Тип линзы: собирающая
Расстояние от предмета до линзы, $d = 4$ см
Увеличение, $Г = 5$
Изображение: мнимое

$d = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Оптическая сила линзы, $D$

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ (в диоптриях, дптр) определяется как величина, обратная её фокусному расстоянию $F$ (выраженному в метрах):

$D = \frac{1}{F}$

Фокусное расстояние можно найти с помощью формулы тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $Г$ равно отношению модуля расстояния от линзы до изображения $|f|$ к расстоянию от предмета до линзы $d$:

$Г = \frac{|f|}{d}$

Из этой формулы выразим модуль расстояния до изображения:

$|f| = Г \cdot d$

Подставим известные значения:

$|f| = 5 \cdot 0.04 \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

По условию задачи, изображение является мнимым. Собирающая линза дает мнимое изображение, когда предмет находится между фокусом и линзой. Такое изображение располагается с той же стороны от линзы, что и предмет. Согласно правилу знаков в оптике, расстояние до мнимого изображения $f$ принимается со знаком минус:

$f = -0.2 \text{ м}$

Теперь мы можем найти оптическую силу линзы, подставив значения $d$ и $f$ в объединенную формулу:

$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

$D = \frac{1}{0.04 \text{ м}} + \frac{1}{-0.2 \text{ м}} = \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.2}$

Выполним вычисления:

$D = 25 - 5 = 20 \text{ дптр}$

Положительное значение оптической силы подтверждает, что линза является собирающей, как и дано в условии.

Ответ: оптическая сила линзы равна 20 дптр.

1067. Выразить линейное увеличение $\Gamma$ в зависимости от фокусного расстояния линзы $\text{F}$ и расстояния предмета от линзы $d$.

Дано:

$F$ - фокусное расстояние линзы
$d$ - расстояние от предмета до линзы

Найти:

$\Gamma(F, d)$ - линейное увеличение

Решение:

Для нахождения зависимости линейного увеличения $\Gamma$ от фокусного расстояния $F$ и расстояния до предмета $d$ воспользуемся формулой тонкой линзы и определением линейного увеличения.

Формула тонкой линзы связывает расстояние от предмета до линзы $d$, расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние $F$:

$ \displaystyle \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $

Линейное увеличение $\Gamma$ по определению равно:

$ \displaystyle \Gamma = -\frac{f}{d} $

Знак «минус» в данной (наиболее распространенной) системе знаков указывает на то, что действительные изображения являются перевернутыми. Из этой формулы можно выразить отношение $\frac{d}{f}$:

$ \displaystyle \frac{d}{f} = -\frac{1}{\Gamma} $

Теперь преобразуем формулу тонкой линзы. Умножим все ее члены на $d$:

$ \displaystyle d \cdot \left(\frac{1}{d} + \frac{1}{f}\right) = d \cdot \frac{1}{F} $

После раскрытия скобок получаем:

$ \displaystyle 1 + \frac{d}{f} = \frac{d}{F} $

Подставим в полученное выражение ранее найденное соотношение $ \displaystyle \frac{d}{f} = -\frac{1}{\Gamma} $:

$ \displaystyle 1 - \frac{1}{\Gamma} = \frac{d}{F} $

Теперь из этого уравнения выразим искомое увеличение $\Gamma$. Сначала выразим $ \displaystyle \frac{1}{\Gamma} $:

$ \displaystyle \frac{1}{\Gamma} = 1 - \frac{d}{F} $

Приведем правую часть к общему знаменателю $F$:

$ \displaystyle \frac{1}{\Gamma} = \frac{F - d}{F} $

Наконец, "перевернув" дробь, получаем окончательную формулу для линейного увеличения в зависимости от $F$ и $d$:

$ \displaystyle \Gamma = \frac{F}{F - d} $

Ответ: $\displaystyle \Gamma = \frac{F}{F - d}$

1068. На каком расстоянии от линзы с фокусным расстоянием 12 см надо поместить предмет, чтобы его действительное изображение было втрое больше самого предмета?

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения задачи используется формула тонкой линзы и формула линейного увеличения. Так как по условию изображение является действительным, линза — собирающая, и её фокусное расстояние $F$ является положительной величиной. Расстояние до действительного изображения $f$ также считается положительным.

Формула тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

где $d$ — расстояние от предмета до линзы, а $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение $\Gamma$ для линзы определяется как отношение размера изображения к размеру предмета, что также равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы:

$\Gamma = \frac{f}{d}$

Из условия задачи известно, что изображение втрое больше предмета, следовательно, $\Gamma = 3$.

Выразим расстояние до изображения $f$ через расстояние до предмета $d$ с помощью формулы увеличения:

$3 = \frac{f}{d} \implies f = 3d$

Теперь подставим полученное выражение для $f$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{3d}$

Приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю $3d$:

$\frac{1}{F} = \frac{3}{3d} + \frac{1}{3d}$

$\frac{1}{F} = \frac{4}{3d}$

Из этого соотношения выразим искомое расстояние $d$:

$3d = 4F$

$d = \frac{4F}{3}$

Подставим в полученную формулу значение фокусного расстояния $F = 12 \text{ см}$:

$d = \frac{4 \cdot 12 \text{ см}}{3} = 4 \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Ответ: предмет надо поместить на расстоянии 16 см от линзы.

1069. На каком расстоянии перед рассеивающей линзой с оптической силой –3 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось посередине между линзой и её мнимым фокусом?

Дано:

Оптическая сила рассеивающей линзы $D = -3$ дптр.
Расстояние от линзы до изображения $|f|$ равно половине модуля фокусного расстояния $|F|$: $|f| = \frac{|F|}{2}$.

Найти:

Расстояние от предмета до линзы $d$.

Решение:

Формула тонкой линзы связывает оптическую силу $D$, расстояние от предмета до линзы $d$ и расстояние от линзы до изображения $f$: $$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$$ Для рассеивающей линзы оптическая сила $D$ и фокусное расстояние $F$ являются отрицательными величинами. Изображение, которое дает рассеивающая линза, всегда мнимое, поэтому расстояние до него $f$ в формуле также принимается со знаком минус.

Сначала найдем фокусное расстояние линзы $F$. Оно связано с оптической силой соотношением: $$F = \frac{1}{D}$$ Подставив значение $D$, получим: $$F = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \text{ м}$$ Модуль фокусного расстояния равен $|F| = \frac{1}{3}$ м.

Далее определим расстояние до изображения $f$. По условию задачи, мнимое изображение находится посередине между линзой и её мнимым фокусом. Это означает, что расстояние от линзы до изображения по модулю равно половине модуля фокусного расстояния: $$|f| = \frac{|F|}{2} = \frac{1/3 \text{ м}}{2} = \frac{1}{6} \text{ м}$$ Поскольку изображение мнимое (как и фокус рассеивающей линзы), его координата в формуле тонкой линзы будет отрицательной. Таким образом, $f = -\frac{1}{6}$ м.

Теперь, зная $D$ и $f$, мы можем найти искомое расстояние до предмета $d$ из формулы тонкой линзы. Для этого выразим из формулы величину $\frac{1}{d}$: $$\frac{1}{d} = D - \frac{1}{f}$$ Подставим числовые значения: $$\frac{1}{d} = -3 \text{ дптр} - \frac{1}{-1/6 \text{ м}} = -3 - (-6) = -3 + 6 = 3 \text{ м}^{-1}$$ Отсюда находим расстояние $d$: $$d = \frac{1}{3} \text{ м}$$ Это расстояние можно также выразить в сантиметрах: $d = \frac{1}{3} \text{ м} \approx 33.3 \text{ см}$.

Ответ: предмет надо поместить на расстоянии $\frac{1}{3}$ м (или примерно 33,3 см) перед рассеивающей линзой.