Страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1115. На сколько увеличится масса $\alpha$-частицы при движении со скоростью $0,9c$? Полагать массу покоя $\alpha$-частицы равной 4 а. е. м.

Дано:

Скорость α-частицы, $v = 0,9c$

Масса покоя α-частицы, $m_0 = 4 \text{ а. е. м.}$

$1 \text{ а. е. м.} \approx 1,66 \times 10^{-27} \text{ кг}$
$m_0 = 4 \text{ а. е. м.} = 4 \times 1,66 \times 10^{-27} \text{ кг} = 6,64 \times 10^{-27} \text{ кг}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$
$v = 0,9 \times 3 \times 10^8 \text{ м/с} = 2,7 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Увеличение массы, $\Delta m$

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела, движущегося со скоростью $v$ (релятивистская масса $m$), связана с его массой покоя $m_0$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Увеличение массы $\Delta m$ представляет собой разность между релятивистской массой $m$ и массой покоя $m_0$:

$\Delta m = m - m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0$

Для удобства вычислений вынесем $m_0$ за скобки:

$\Delta m = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

Из условия задачи известно, что скорость частицы $v = 0,9c$. Следовательно, отношение $\frac{v}{c} = 0,9$.

Квадрат этого отношения равен:

$\frac{v^2}{c^2} = (0,9)^2 = 0,81$

Подставим это значение в формулу для увеличения массы:

$\Delta m = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - 0,81}} - 1 \right) = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{0,19}} - 1 \right)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$\sqrt{0,19} \approx 0,4359$

$\frac{1}{\sqrt{0,19}} \approx \frac{1}{0,4359} \approx 2,294$

$\Delta m \approx m_0 (2,294 - 1) = 1,294 m_0$

Подставим значение массы покоя $m_0 = 4 \text{ а. е. м.}$:

$\Delta m \approx 1,294 \times 4 \text{ а. е. м.} = 5,176 \text{ а. е. м.}$

Поскольку исходные данные приведены в атомных единицах массы, ответ целесообразно оставить в тех же единицах.

Ответ: масса α-частицы увеличится на $5,176$ а. е. м.

1116. С какой скоростью должен лететь протон ($m_0 = 1$ а. е. м.), чтобы его масса стала равна массе покоя $\alpha$-частицы ($m_0 = 4$ а. е. м.)?

1116. Дано:

Масса покоя протона $m_{0p} = 1$ а. е. м.

Масса покоя $\alpha$-частицы $m_{0\alpha} = 4$ а. е. м.

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

Скорость протона $v$, при которой его релятивистская масса $m_p$ равна массе покоя $\alpha$-частицы.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела зависит от его скорости. Релятивистская масса $m$ связана с массой покоя $m_0$ и скоростью $v$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

В нашем случае, релятивистская масса протона $m_p$ должна стать равной массе покоя $\alpha$-частицы $m_{0\alpha}$. Масса покоя протона равна $m_{0p}$.

Запишем формулу для релятивистской массы протона:

$m_p = \frac{m_{0p}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

По условию задачи $m_p = m_{0\alpha}$. Приравняем правые части:

$\frac{m_{0p}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_{0\alpha}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Сначала выразим корень:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}\right)^2$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}\right)^2$

Теперь выразим $v$:

$v = c \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}\right)^2}$

Подставим числовые значения:

$v = c \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1 \text{ а. е. м.}}{4 \text{ а. е. м.}}\right)^2} = c \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = c \cdot \sqrt{\frac{15}{16}}$

$v = c \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \approx c \cdot \frac{3.873}{4} \approx 0.968c$

Теперь вычислим значение скорости в м/с:

$v \approx 0.968 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.904 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: скорость протона должна быть примерно равна $2.9 \cdot 10^8$ м/с, или $0.968c$.

1117. При какой скорости движения космического корабля масса продуктов питания увеличится в 2 раза? Увеличится ли вдвое время использования запаса питания?

При какой скорости движения космического корабля масса продуктов питания увеличится в 2 раза?

Дано:

Отношение релятивистской массы к массе покоя: $\frac{m}{m_0} = 2$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$v$ — скорость космического корабля.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, релятивистская масса $m$ объекта, движущегося со скоростью $v$, связана с его массой покоя $m_0$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $c$ — скорость света в вакууме.

По условию задачи, масса продуктов питания увеличилась в 2 раза, то есть $m = 2m_0$. Подставим это значение в формулу:

$2m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Сократим массу покоя $m_0$ в обеих частях уравнения:

$2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Избавимся от дроби, выразив знаменатель:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Чтобы найти скорость, возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Теперь выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда находим квадрат скорости $v^2$ и саму скорость $v$:

$v^2 = \frac{3}{4}c^2$

$v = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Это точное значение скорости. Вычислим её приближенное значение в м/с:

$v \approx \frac{1.732}{2} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 0.866 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Таким образом, скорость должна составлять примерно 86.6% от скорости света.

Ответ: Масса продуктов питания увеличится в 2 раза при скорости движения космического корабля $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.

Увеличится ли вдвое время использования запаса питания?

Решение:

Да, увеличится. Этот эффект называется релятивистским замедлением времени и описывается в рамках специальной теории относительности. Связь между промежутком времени в покоящейся системе отсчета ($\Delta t$) и в движущейся системе отсчета ($\Delta t_0$, собственное время) дается формулой:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Множитель $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, называемый Лоренц-фактором, тот же самый, что и в формуле для релятивистской массы ($m = \gamma m_0$).

Из первой части задачи следует, что при увеличении массы в 2 раза ($m = 2m_0$), Лоренц-фактор равен 2:

$\gamma = 2$

Следовательно, для промежутков времени будет выполняться соотношение:

$\Delta t = 2 \Delta t_0$

Здесь $\Delta t_0$ — это время, на которое рассчитан запас питания по часам на борту корабля. Для самих астронавтов скорость течения времени и скорость потребления пищи не изменится. Однако для наблюдателя в неподвижной системе отсчета (например, на Земле), который и фиксирует увеличение массы продуктов, все процессы на корабле, включая биологические, будут протекать в 2 раза медленнее. Это означает, что с точки зрения этого наблюдателя, запас питания будет расходоваться вдвое дольше.

Ответ: Да, с точки зрения наблюдателя, относительно которого движется корабль, время использования запаса питания увеличится вдвое.

1118. Найти отношение заряда электрона к его массе при скорости движения электрона $0.8c$. Отношение заряда электрона к его массе покоя известно.

Дано:

Скорость движения электрона, $v = 0,8c$, где $c$ - скорость света

Отношение заряда электрона к его массе покоя (удельный заряд), $\frac{e}{m_0} \approx 1,76 \cdot 10^{11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$

Найти:

Отношение заряда электрона к его массе при скорости $v$, $\frac{e}{m}$ - ?

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела зависит от скорости его движения. Релятивистская масса $m$ тела, движущегося со скоростью $v$, связана с его массой покоя $m_0$ следующим образом:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $c$ — скорость света в вакууме.

Заряд электрона $e$ является релятивистским инвариантом, то есть его величина не меняется при движении и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Исходя из этого, найдем искомое отношение заряда к релятивистской массе $\frac{e}{m}$:

$\frac{e}{m} = \frac{e}{\frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}} = \frac{e}{m_0} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

В условии задачи указано, что отношение заряда электрона к его массе покоя $\frac{e}{m_0}$ известно. Это фундаментальная физическая константа, значение которой составляет примерно $1,76 \cdot 10^{11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$.

Подставим в формулу значение скорости электрона $v = 0,8c$:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(0,8c)^2}{c^2} = \frac{0,64c^2}{c^2} = 0,64$

Теперь вычислим значение корня:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь мы можем вычислить искомое отношение, подставив все числовые значения:

$\frac{e}{m} = \frac{e}{m_0} \cdot 0,6 = (1,76 \cdot 10^{11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}) \cdot 0,6 = 1,056 \cdot 10^{11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$

Ответ: $1,056 \cdot 10^{11} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$.

1119. Мощность общего излучения Солнца $3,83 \cdot 10^{26}$ Вт. На сколько в связи с этим уменьшается ежесекундно масса Солнца?

Дано:

Мощность общего излучения Солнца $P = 3,83 \cdot 10^{26}$ Вт
Время $t = 1$ с
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Ежесекундное уменьшение массы Солнца $\Delta m$ - ?

Решение:

Уменьшение массы Солнца происходит из-за того, что оно излучает энергию в окружающее пространство. Связь между энергией и массой устанавливается знаменитым уравнением Альберта Эйнштейна, которое является одним из следствий специальной теории относительности:

$E = mc^2$

где $E$ — энергия, $m$ — масса, а $c$ — скорость света в вакууме.

Это уравнение означает, что потеря энергии $\Delta E$ эквивалентна потере массы $\Delta m$:

$\Delta E = \Delta m c^2$

Мощность излучения $P$ по определению — это энергия, излучаемая за единицу времени $t$:

$P = \frac{\Delta E}{t}$

Отсюда можно выразить энергию $\Delta E$, которую Солнце излучает за время $t$:

$\Delta E = P \cdot t$

Приравняем два выражения для энергии $\Delta E$:

$\Delta m c^2 = P \cdot t$

Теперь мы можем выразить потерю массы $\Delta m$ за время $t$:

$\Delta m = \frac{P \cdot t}{c^2}$

В задаче требуется найти ежесекундное уменьшение массы, поэтому мы принимаем время $t = 1$ с. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta m = \frac{3,83 \cdot 10^{26} \text{ Вт} \cdot 1 \text{ с}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{3,83 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$

$\Delta m \approx 0,4255... \cdot 10^{10} \text{ кг} \approx 4,26 \cdot 10^9 \text{ кг}$

Таким образом, каждую секунду в результате излучения масса Солнца уменьшается примерно на 4,26 миллиарда килограммов или 4,26 миллиона тонн.

Ответ: ежесекундно масса Солнца уменьшается на $4,26 \cdot 10^9$ кг.

1120. Груз массой 18 т подъёмный кран поднял на высоту 5 м. На сколько изменилась масса груза?

Этот вопрос имеет два возможных ответа в зависимости от того, в рамках какой физической теории его рассматривать: классической механики или теории относительности.

Подход с точки зрения классической механики
В классической физике, которую изучают в школе, масса тела является его неотъемлемой, постоянной характеристикой (инвариантной величиной). Она не изменяется при перемещении тела в пространстве. Когда кран поднимает груз, он совершает работу против силы тяжести, и эта работа превращается в потенциальную энергию груза. Таким образом, изменяется энергия тела, но не его масса. В этом контексте ответ на задачу будет простым.

Ответ: В рамках классической механики масса груза не изменилась, то есть изменение массы равно нулю.

Подход с точки зрения теории относительности
Согласно специальной теории относительности Альберта Эйнштейна, масса и энергия взаимосвязаны. Эта связь выражается знаменитой формулой $E=mc^2$. Из этой формулы следует, что любое изменение энергии системы ($ΔE$) приводит к изменению ее массы ($Δm$) на величину $Δm = ΔE/c^2$, где $c$ – скорость света в вакууме.

Когда кран поднимает груз, его потенциальная энергия увеличивается. Это увеличение энергии эквивалентно увеличению массы груза. Произведем расчет этого изменения.

Дано:

$m = 18 \text{ т}$
$h = 5 \text{ м}$
$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)
$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Перевод в систему СИ:
$m = 18 \cdot 1000 \text{ кг} = 18000 \text{ кг}$

Найти:

$Δm$

Решение:

1. Найдем изменение потенциальной энергии груза ($ΔE_p$) при его подъеме на высоту $h$:

$ΔE_p = mgh$

Подставим числовые значения:

$ΔE_p = 18000 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5 \text{ м} = 882000 \text{ Дж}$

2. Теперь, используя формулу эквивалентности массы и энергии, найдем соответствующее изменение массы $Δm$:

$Δm = \frac{ΔE_p}{c^2}$

Подставим значения:

$Δm = \frac{882000 \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{8.82 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$

$Δm = 0.98 \cdot 10^{-11} \text{ кг} = 9.8 \cdot 10^{-12} \text{ кг}$

Это изменение массы (9.8 пикограмма) является чрезвычайно малым и не может быть измерено на практике для такого объекта.

Ответ: С точки зрения теории относительности, масса груза увеличилась на $9.8 \cdot 10^{-12}$ кг.

1121. На сколько увеличится масса пружины жёсткостью $10 \text{ кН}/\text{м}$ при её растяжении на $3 \text{ см}$?

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 10 \text{ кН/м}$

Растяжение пружины, $x = 3 \text{ см}$

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Увеличение массы пружины, $\Delta m$.

Решение:

При растяжении пружины в ней запасается потенциальная энергия упругой деформации. Согласно специальной теории относительности, энергия и масса взаимосвязаны. Увеличение полной энергии системы $(\Delta E)$ приводит к увеличению её массы покоя $(\Delta m)$.

Потенциальная энергия, запасённая в растянутой пружине, вычисляется по формуле:

$E_p = \frac{k x^2}{2}$

Это и есть увеличение энергии пружины: $\Delta E = E_p$.

Связь между увеличением энергии и соответствующим увеличением массы даётся формулой эквивалентности массы и энергии Эйнштейна:

$\Delta E = \Delta m c^2$

Отсюда можно выразить искомое увеличение массы:

$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2} = \frac{E_p}{c^2}$

Подставив выражение для потенциальной энергии, получаем расчётную формулу:

$\Delta m = \frac{k x^2}{2c^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta m = \frac{10^4 \text{ Н/м} \cdot (0,03 \text{ м})^2}{2 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{10^4 \cdot (9 \cdot 10^{-4})}{2 \cdot (9 \cdot 10^{16})} \text{ кг}$

Проведём вычисления:

$\Delta m = \frac{10^4 \cdot 9 \cdot 10^{-4}}{18 \cdot 10^{16}} = \frac{9}{18 \cdot 10^{16}} = \frac{0,5}{10^{16}} \text{ кг}$

$\Delta m = 0,5 \cdot 10^{-16} \text{ кг} = 5 \cdot 10^{-17} \text{ кг}$

Ответ: масса пружины увеличится на $5 \cdot 10^{-17} \text{ кг}$.

1122. Масса покоя космического корабля 9 т. На сколько увеличивается масса корабля при его движении со скоростью 8 км/с?

Дано:

Масса покоя корабля, $m_0 = 9 \text{ т} = 9 \cdot 10^3 \text{ кг}$
Скорость корабля, $v = 8 \text{ км/с} = 8 \cdot 10^3 \text{ м/с}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Увеличение массы корабля, $Δm - ?$

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела увеличивается с ростом его скорости. Релятивистская масса $m$ движущегося объекта связана с его массой покоя $m_0$ и скоростью $v$ следующим образом: $$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Увеличение массы $Δm$ представляет собой разность между релятивистской массой и массой покоя: $$Δm = m - m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$$

Поскольку скорость корабля $v = 8 \text{ км/с}$ значительно меньше скорости света $c \approx 300000 \text{ км/с}$ ($v \ll c$), можно воспользоваться приближенной формулой. Для малых значений $x$ справедливо разложение в ряд Тейлора: $(1-x)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x$.

В нашем случае $x = \frac{v^2}{c^2}$, тогда: $$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$$

Подставив это приближение в формулу для увеличения массы, получаем: $$Δm \approx m_0 \left( \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right) - 1 \right) = \frac{m_0 v^2}{2c^2}$$ Эта формула показывает, что увеличение массы связано с кинетической энергией тела в нерелятивистском приближении ($E_k = \frac{m_0v^2}{2}$) через знаменитое соотношение Эйнштейна $E = mc^2$, так как $Δm = \frac{E_k}{c^2}$.

Теперь подставим данные в полученную формулу и выполним вычисления: $$Δm \approx \frac{9 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot (8 \cdot 10^3 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{9 \cdot 10^3 \cdot 64 \cdot 10^6}{2 \cdot 9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$$ $$Δm \approx \frac{576 \cdot 10^9}{18 \cdot 10^{16}} \text{ кг} = 32 \cdot 10^{-7} \text{ кг} = 3.2 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$$ Полученное значение можно также выразить в миллиграммах: $3.2 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 3.2 \text{ мг}$.

Ответ: масса корабля увеличивается на $3.2 \cdot 10^{-6}$ кг.

1123. Электрон движется со скоростью $0.8c$. Определить полную и кинетическую энергию электрона.

Дано:

Скорость электрона $v = 0.8c$
Масса покоя электрона (табличное значение) $m_0 = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Скорость света в вакууме (константа) $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Полную энергию $E - ?$
Кинетическую энергию $K - ?$

Решение:

В соответствии со специальной теорией относительности, полная энергия $E$ и кинетическая энергия $K$ частицы, движущейся с релятивистской скоростью $v$, определяются следующими формулами: $E = \gamma m_0 c^2$
$K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0 c^2$
где $m_0$ — масса покоя частицы, $c$ — скорость света, $E_0 = m_0 c^2$ — энергия покоя, а $\gamma$ — лоренц-фактор, равный $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Сначала вычислим лоренц-фактор $\gamma$ для заданной скорости: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.8^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} = \frac{5}{3}$

Затем вычислим энергию покоя электрона $E_0$: $E_0 = m_0 c^2 = (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Полная энергия

Полная энергия равна произведению энергии покоя на лоренц-фактор: $E = \gamma E_0 = \frac{5}{3} \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = 13.665 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} \approx 1.37 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Ответ: полная энергия $E \approx 1.37 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия равна разности между полной энергией и энергией покоя. $K = E - E_0 = 1.3665 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} - 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = (13.665 - 8.199) \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = 5.466 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.
Альтернативный способ расчета через лоренц-фактор дает тот же результат: $K = (\gamma - 1) E_0 = (\frac{5}{3} - 1) \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = \frac{2}{3} \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = 5.466 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.
Округляя до трех значащих цифр, получаем: $K \approx 5.47 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.

Ответ: кинетическая энергия $K \approx 5.47 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.

1124. Чайник с $2 \text{ кг}$ воды нагрели от $10^\circ \text{C}$ до кипения. На сколько изменилась масса воды?

При нагревании тела, например, воды в чайнике, ему сообщается энергия. Согласно специальной теории относительности, сформулированной Альбертом Эйнштейном, масса и энергия взаимосвязаны. Это выражается знаменитой формулой эквивалентности массы и энергии $E = mc^2$. Увеличение полной энергии тела на величину $ΔE$ приводит к увеличению его массы на величину $Δm$, которую можно найти из соотношения $ΔE = Δm \cdot c^2$.

В данном случае увеличение энергии воды равно количеству теплоты $Q$, которое было затрачено на ее нагревание.

Дано:

Масса воды: $m = 2$ кг
Начальная температура: $t_1 = 10$ °C
Конечная температура (температура кипения): $t_2 = 100$ °C

Найти:

Изменение массы воды $Δm$.

Решение:

1. Сперва определим количество теплоты $Q$, которое получила вода при нагревании. Оно рассчитывается по формуле:
$Q = c_в \cdot m \cdot (T_2 - T_1)$

Найдем изменение температуры:
$ΔT = T_2 - T_1 = 373.15 \text{ К} - 283.15 \text{ К} = 90 \text{ К}$

Теперь рассчитаем количество теплоты:
$Q = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 90 \text{ К} = 756000 \text{ Дж}$

2. Это количество теплоты $Q$ является изменением внутренней энергии воды $ΔE$. Используем формулу связи массы и энергии, чтобы найти соответствующее изменение массы $Δm$:
$ΔE = Q = Δm \cdot c^2$

3. Выразим из этого уравнения $Δm$:
$Δm = \frac{Q}{c^2}$

4. Подставим числовые значения и выполним вычисления:
$Δm = \frac{756000 \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{7.56 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2} = 0.84 \cdot 10^{-11} \text{ кг}$

Запишем полученный результат в стандартном виде:
$Δm = 8.4 \cdot 10^{-12} \text{ кг}$

Таким образом, при нагревании масса воды увеличилась, но это увеличение ничтожно мало и не может быть измерено обычными весами.

Ответ: масса воды увеличилась на $8.4 \cdot 10^{-12}$ кг.

1125. На сколько изменяется масса 1 кг льда при плавлении?

С точки зрения классической физики, при плавлении (фазовом переходе из твердого состояния в жидкое) масса тела не изменяется, так как количество вещества, то есть число молекул, остается постоянным. Однако, согласно специальной теории относительности А. Эйнштейна, масса и энергия являются эквивалентными и связаны соотношением $E = mc^2$.

Процесс плавления льда требует подвода энергии извне (теплоты). Эта энергия увеличивает внутреннюю энергию системы (воды), что, в свою очередь, приводит к увеличению ее массы. Изменение массы ($\Delta m$) можно рассчитать, определив, какое количество энергии ($\Delta E$) было поглощено льдом.

$m = 1$ кг

Данные представлены в системе СИ. Для решения задачи потребуются справочные константы.

$\Delta m$ — изменение массы льда.

1. Сначала рассчитаем количество теплоты $Q$, которое необходимо для плавления 1 кг льда. Это количество теплоты равно изменению внутренней энергии системы $\Delta E$. Для расчета используется формула: $Q = \lambda \cdot m$ где $\lambda$ — удельная теплота плавления льда, справочное значение которой составляет $\lambda \approx 3,34 \cdot 10^5$ Дж/кг.

Вычислим энергию, поглощенную льдом при плавлении: $\Delta E = Q = 3,34 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} \cdot 1 \text{ кг} = 3,34 \cdot 10^5 \text{ Дж}$

2. Теперь воспользуемся формулой эквивалентности массы и энергии для нахождения соответствующего изменения массы: $\Delta E = \Delta m \cdot c^2$ где $c$ — скорость света в вакууме, константа, равная $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Выразим из этой формулы изменение массы $\Delta m$: $\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}$

Подставим численные значения в формулу и произведем расчет: $\Delta m = \frac{3,34 \cdot 10^5 \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{3,34 \cdot 10^5}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$

$\Delta m \approx 0,3711 \cdot 10^{-11} \text{ кг} \approx 3,71 \cdot 10^{-12} \text{ кг}$

Таким образом, в результате плавления масса 1 кг льда увеличится на очень незначительную величину, которую практически невозможно измерить современными приборами.

Ответ: масса 1 кг льда при плавлении увеличивается на величину $\Delta m \approx 3,71 \times 10^{-12}$ кг.

1126. Определить импульс протона, если его энергия равна энергии покоя $\alpha$-частицы. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы приобрести такой импульс?

Дано:

Полная энергия протона $E_p$ равна энергии покоя $\alpha$-частицы $E_{0,\alpha}$.
Масса покоя протона, $m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27}$ кг
Масса покоя $\alpha$-частицы, $m_{\alpha} \approx 6.6447 \times 10^{-27}$ кг
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с
Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Найти:

$p_p$ - импульс протона
$U$ - ускоряющая разность потенциалов

Решение:

Задача решается с использованием формул релятивистской механики, так как энергия протона значительно превышает его энергию покоя, что указывает на его движение со скоростью, близкой к скорости света.

1. Определение импульса протона
Связь между полной энергией частицы $E$, ее импульсом $p$ и массой покоя $m_0$ дается релятивистским соотношением: $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$

Применительно к протону ($m_0 = m_p$): $E_p^2 = (p_p c)^2 + (m_p c^2)^2$

По условию задачи, полная энергия протона $E_p$ равна энергии покоя $\alpha$-частицы $E_{0,\alpha}$: $E_p = E_{0,\alpha} = m_{\alpha}c^2$

Подставим это условие в соотношение для энергии протона: $(m_{\alpha}c^2)^2 = (p_p c)^2 + (m_p c^2)^2$

Выразим из этого уравнения импульс протона $p_p$: $(p_p c)^2 = (m_{\alpha}c^2)^2 - (m_p c^2)^2$ $p_p^2 c^2 = c^4 (m_{\alpha}^2 - m_p^2)$ $p_p = c\sqrt{m_{\alpha}^2 - m_p^2}$

Подставим числовые значения: $p_p = 3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times \sqrt{(6.6447 \times 10^{-27} \text{ кг})^2 - (1.6726 \times 10^{-27} \text{ кг})^2}$ $p_p = 3 \times 10^8 \times \sqrt{(44.152 - 2.798) \times 10^{-54}} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$ $p_p = 3 \times 10^8 \times \sqrt{41.354 \times 10^{-54}} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$ $p_p = 3 \times 10^8 \times 6.431 \times 10^{-27} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.929 \times 10^{-18} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Импульс протона равен $1.93 \times 10^{-18} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

2. Определение ускоряющей разности потенциалов
Чтобы протон приобрел такой импульс (и, соответственно, такую энергию), его необходимо ускорить в электрическом поле. Работа электрического поля $A$ идет на увеличение кинетической энергии протона $K_p$. Если протон ускоряется разностью потенциалов $U$, то работа поля равна: $A = eU$

Кинетическая энергия $K_p$ в релятивистском случае - это разница между полной энергией $E_p$ и энергией покоя $E_{0,p}$: $K_p = E_p - E_{0,p}$

Приравнивая работу и изменение кинетической энергии (считаем, что начальная кинетическая энергия равна нулю), получаем: $eU = E_p - E_{0,p}$

Используя условие $E_p = E_{0,\alpha} = m_{\alpha}c^2$ и определение энергии покоя протона $E_{0,p} = m_p c^2$, находим $U$: $eU = m_{\alpha}c^2 - m_p c^2$ $U = \frac{(m_{\alpha} - m_p)c^2}{e}$

Подставим числовые значения: $U = \frac{(6.6447 \times 10^{-27} \text{ кг} - 1.6726 \times 10^{-27} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$ $U = \frac{4.9721 \times 10^{-27} \text{ кг} \times 9 \times 10^{16} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$ $U = \frac{4.4749 \times 10^{-10} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 2.793 \times 10^9 \text{ В}$

Полученное значение удобно выразить в гигавольтах (ГВ): $1 \text{ ГВ} = 10^9 \text{ В}$. $U \approx 2.79 \text{ ГВ}$

Ответ: Ускоряющая разность потенциалов должна быть равна $2.79 \times 10^9 \text{ В}$ (или 2.79 ГВ).

1127. Найти кинетическую энергию электрона (в МэВ)¹, движущегося со скоростью $0.6c$.

Дано:

Скорость электрона $v = 0,6c$

В системе СИ: $v = 0,6 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 1,8 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Кинетическую энергию электрона $E_k$ (в МэВ).

Решение:

Поскольку скорость электрона $v = 0,6c$ является значительной долей скорости света, для расчета его кинетической энергии необходимо использовать формулу из специальной теории относительности.

Релятивистская кинетическая энергия $E_k$ определяется как разность между полной энергией частицы $E$ и её энергией покоя $E_0$:

$E_k = E - E_0$

Полная энергия $E$ и энергия покоя $E_0$ связаны с массой покоя частицы $m_0$ следующими соотношениями:

$E = \gamma m_0 c^2$

$E_0 = m_0 c^2$

Здесь $c$ — скорость света в вакууме, а $\gamma$ — это фактор Лоренца, который зависит от скорости частицы $v$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставляя выражения для $E$ и $E_0$, получаем формулу для кинетической энергии:

$E_k = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2 = (\gamma - 1) m_0 c^2$

Сначала рассчитаем фактор Лоренца для скорости $v = 0,6c$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,6c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25$

Теперь необходимо найти значение энергии покоя электрона $E_0 = m_0 c^2$. Для удобства вычислений воспользуемся табличным значением энергии покоя электрона, выраженным в мегаэлектронвольтах (МэВ):

$E_0 \approx 0,511 \text{ МэВ}$

Подставим найденные значения $\gamma$ и $E_0$ в формулу для кинетической энергии:

$E_k = (1,25 - 1) \cdot E_0 = 0,25 \cdot 0,511 \text{ МэВ} = 0,12775 \text{ МэВ}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: кинетическая энергия электрона равна $0,128$ МэВ.

1128. Ускоритель Ереванского физического института позволяет получать электроны с энергией 6 ГэВ. Во сколько раз масса таких электронов больше их массы покоя? Какова масса этих электронов (в а. е. м.)?

Дано:

Энергия электронов $E_{полн} = 6 \text{ ГэВ}$
Справочные данные:
Энергия покоя электрона $E_0 \approx 0.511 \text{ МэВ}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м. равен $931.5 \text{ МэВ}$
Элементарный заряд $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$E_{полн} = 6 \text{ ГэВ} = 6 \times 10^9 \text{ эВ} = 6 \times 10^9 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 9.612 \times 10^{-10} \text{ Дж}$
Для удобства дальнейших вычислений будем использовать энергию, выраженную в мегаэлектрон-вольтах (МэВ):
$E_{полн} = 6 \text{ ГэВ} = 6000 \text{ МэВ}$

Найти:

1. Отношение релятивистской массы к массе покоя: $\frac{m}{m_0}$.
2. Релятивистскую массу электрона: $m$ в а.е.м.

Решение:

В соответствии со специальной теорией относительности, полная энергия частицы $E$ связана с ее релятивистской массой $m$ формулой $E = mc^2$, а энергия покоя $E_0$ с массой покоя $m_0$ — формулой $E_0 = m_0c^2$. В ускорителях частицы приобретают огромную кинетическую энергию, которая во много раз превышает их энергию покоя. В данном случае энергия электрона $6 \text{ ГэВ}$ значительно больше его энергии покоя $0.511 \text{ МэВ}$, поэтому можно считать, что данная в условии энергия является полной энергией электрона.

Во сколько раз масса таких электронов больше их массы покоя?

Отношение релятивистской массы $m$ к массе покоя $m_0$ можно найти как отношение их полных энергий:

$\frac{m}{m_0} = \frac{E_{полн}/c^2}{E_0/c^2} = \frac{E_{полн}}{E_0}$

Подставим числовые значения:

$\frac{m}{m_0} = \frac{6000 \text{ МэВ}}{0.511 \text{ МэВ}} \approx 11741.68$

Таким образом, релятивистская масса электрона, разогнанного до энергии 6 ГэВ, примерно в 11742 раза превышает его массу покоя.

Ответ: масса таких электронов больше их массы покоя примерно в 11742 раза.

Какова масса этих электронов (в а. е. м.)?

Чтобы определить массу электрона в атомных единицах массы (а.е.м.), воспользуемся связью массы и энергии. Из формулы $E = mc^2$ следует, что массу можно выразить в энергетических единицах, например, в $\text{МэВ}/c^2$.

$m = \frac{E_{полн}}{c^2} = \frac{6000 \text{ МэВ}}{c^2}$

Известно, что одной атомной единице массы соответствует энергия $931.5 \text{ МэВ}$, то есть $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$, откуда $1 \text{ а.е.м.} = 931.5 \text{ МэВ}/c^2$.

Для перевода массы из $\text{МэВ}/c^2$ в а.е.м., разделим значение массы в $\text{МэВ}/c^2$ на этот коэффициент:

$m \text{ (в а.е.м.)} = \frac{6000 \text{ МэВ}/c^2}{931.5 \text{ МэВ}/(c^2 \cdot \text{а.е.м.})} \approx 6.44122 \text{ а.е.м.}$

Округляя полученный результат, находим массу электрона.

Ответ: масса этих электронов составляет примерно 6.441 а.е.м.