Номер 1115, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1115. На сколько увеличится масса $\alpha$-частицы при движении со скоростью $0,9c$? Полагать массу покоя $\alpha$-частицы равной 4 а. е. м.

Дано:

Скорость α-частицы, $v = 0,9c$

Масса покоя α-частицы, $m_0 = 4 \text{ а. е. м.}$

$1 \text{ а. е. м.} \approx 1,66 \times 10^{-27} \text{ кг}$
$m_0 = 4 \text{ а. е. м.} = 4 \times 1,66 \times 10^{-27} \text{ кг} = 6,64 \times 10^{-27} \text{ кг}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$
$v = 0,9 \times 3 \times 10^8 \text{ м/с} = 2,7 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Увеличение массы, $\Delta m$

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела, движущегося со скоростью $v$ (релятивистская масса $m$), связана с его массой покоя $m_0$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Увеличение массы $\Delta m$ представляет собой разность между релятивистской массой $m$ и массой покоя $m_0$:

$\Delta m = m - m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0$

Для удобства вычислений вынесем $m_0$ за скобки:

$\Delta m = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

Из условия задачи известно, что скорость частицы $v = 0,9c$. Следовательно, отношение $\frac{v}{c} = 0,9$.

Квадрат этого отношения равен:

$\frac{v^2}{c^2} = (0,9)^2 = 0,81$

Подставим это значение в формулу для увеличения массы:

$\Delta m = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - 0,81}} - 1 \right) = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{0,19}} - 1 \right)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$\sqrt{0,19} \approx 0,4359$

$\frac{1}{\sqrt{0,19}} \approx \frac{1}{0,4359} \approx 2,294$

$\Delta m \approx m_0 (2,294 - 1) = 1,294 m_0$

Подставим значение массы покоя $m_0 = 4 \text{ а. е. м.}$:

$\Delta m \approx 1,294 \times 4 \text{ а. е. м.} = 5,176 \text{ а. е. м.}$

Поскольку исходные данные приведены в атомных единицах массы, ответ целесообразно оставить в тех же единицах.

Ответ: масса α-частицы увеличится на $5,176$ а. е. м.