Номер 1116, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1116. С какой скоростью должен лететь протон ($m_0 = 1$ а. е. м.), чтобы его масса стала равна массе покоя $\alpha$-частицы ($m_0 = 4$ а. е. м.)?

1116. Дано:

Масса покоя протона $m_{0p} = 1$ а. е. м.

Масса покоя $\alpha$-частицы $m_{0\alpha} = 4$ а. е. м.

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Найти:

Скорость протона $v$, при которой его релятивистская масса $m_p$ равна массе покоя $\alpha$-частицы.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела зависит от его скорости. Релятивистская масса $m$ связана с массой покоя $m_0$ и скоростью $v$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

В нашем случае, релятивистская масса протона $m_p$ должна стать равной массе покоя $\alpha$-частицы $m_{0\alpha}$. Масса покоя протона равна $m_{0p}$.

Запишем формулу для релятивистской массы протона:

$m_p = \frac{m_{0p}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

По условию задачи $m_p = m_{0\alpha}$. Приравняем правые части:

$\frac{m_{0p}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_{0\alpha}$

Выразим из этого уравнения скорость $v$. Сначала выразим корень:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}\right)^2$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}\right)^2$

Теперь выразим $v$:

$v = c \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{m_{0p}}{m_{0\alpha}}\right)^2}$

Подставим числовые значения:

$v = c \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1 \text{ а. е. м.}}{4 \text{ а. е. м.}}\right)^2} = c \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = c \cdot \sqrt{\frac{15}{16}}$

$v = c \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \approx c \cdot \frac{3.873}{4} \approx 0.968c$

Теперь вычислим значение скорости в м/с:

$v \approx 0.968 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.904 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: скорость протона должна быть примерно равна $2.9 \cdot 10^8$ м/с, или $0.968c$.