Номер 1117, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1117. При какой скорости движения космического корабля масса продуктов питания увеличится в 2 раза? Увеличится ли вдвое время использования запаса питания?

При какой скорости движения космического корабля масса продуктов питания увеличится в 2 раза?

Дано:

Отношение релятивистской массы к массе покоя: $\frac{m}{m_0} = 2$

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$v$ — скорость космического корабля.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, релятивистская масса $m$ объекта, движущегося со скоростью $v$, связана с его массой покоя $m_0$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $c$ — скорость света в вакууме.

По условию задачи, масса продуктов питания увеличилась в 2 раза, то есть $m = 2m_0$. Подставим это значение в формулу:

$2m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Сократим массу покоя $m_0$ в обеих частях уравнения:

$2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Избавимся от дроби, выразив знаменатель:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Чтобы найти скорость, возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Теперь выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда находим квадрат скорости $v^2$ и саму скорость $v$:

$v^2 = \frac{3}{4}c^2$

$v = \sqrt{\frac{3}{4}c^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Это точное значение скорости. Вычислим её приближенное значение в м/с:

$v \approx \frac{1.732}{2} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 0.866 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Таким образом, скорость должна составлять примерно 86.6% от скорости света.

Ответ: Масса продуктов питания увеличится в 2 раза при скорости движения космического корабля $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.

Увеличится ли вдвое время использования запаса питания?

Решение:

Да, увеличится. Этот эффект называется релятивистским замедлением времени и описывается в рамках специальной теории относительности. Связь между промежутком времени в покоящейся системе отсчета ($\Delta t$) и в движущейся системе отсчета ($\Delta t_0$, собственное время) дается формулой:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Множитель $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, называемый Лоренц-фактором, тот же самый, что и в формуле для релятивистской массы ($m = \gamma m_0$).

Из первой части задачи следует, что при увеличении массы в 2 раза ($m = 2m_0$), Лоренц-фактор равен 2:

$\gamma = 2$

Следовательно, для промежутков времени будет выполняться соотношение:

$\Delta t = 2 \Delta t_0$

Здесь $\Delta t_0$ — это время, на которое рассчитан запас питания по часам на борту корабля. Для самих астронавтов скорость течения времени и скорость потребления пищи не изменится. Однако для наблюдателя в неподвижной системе отсчета (например, на Земле), который и фиксирует увеличение массы продуктов, все процессы на корабле, включая биологические, будут протекать в 2 раза медленнее. Это означает, что с точки зрения этого наблюдателя, запас питания будет расходоваться вдвое дольше.

Ответ: Да, с точки зрения наблюдателя, относительно которого движется корабль, время использования запаса питания увеличится вдвое.