Номер 1122, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1122. Масса покоя космического корабля 9 т. На сколько увеличивается масса корабля при его движении со скоростью 8 км/с?

Дано:

Масса покоя корабля, $m_0 = 9 \text{ т} = 9 \cdot 10^3 \text{ кг}$
Скорость корабля, $v = 8 \text{ км/с} = 8 \cdot 10^3 \text{ м/с}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Увеличение массы корабля, $Δm - ?$

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела увеличивается с ростом его скорости. Релятивистская масса $m$ движущегося объекта связана с его массой покоя $m_0$ и скоростью $v$ следующим образом: $$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Увеличение массы $Δm$ представляет собой разность между релятивистской массой и массой покоя: $$Δm = m - m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 = m_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$$

Поскольку скорость корабля $v = 8 \text{ км/с}$ значительно меньше скорости света $c \approx 300000 \text{ км/с}$ ($v \ll c$), можно воспользоваться приближенной формулой. Для малых значений $x$ справедливо разложение в ряд Тейлора: $(1-x)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x$.

В нашем случае $x = \frac{v^2}{c^2}$, тогда: $$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$$

Подставив это приближение в формулу для увеличения массы, получаем: $$Δm \approx m_0 \left( \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right) - 1 \right) = \frac{m_0 v^2}{2c^2}$$ Эта формула показывает, что увеличение массы связано с кинетической энергией тела в нерелятивистском приближении ($E_k = \frac{m_0v^2}{2}$) через знаменитое соотношение Эйнштейна $E = mc^2$, так как $Δm = \frac{E_k}{c^2}$.

Теперь подставим данные в полученную формулу и выполним вычисления: $$Δm \approx \frac{9 \cdot 10^3 \text{ кг} \cdot (8 \cdot 10^3 \text{ м/с})^2}{2 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{9 \cdot 10^3 \cdot 64 \cdot 10^6}{2 \cdot 9 \cdot 10^{16}} \text{ кг}$$ $$Δm \approx \frac{576 \cdot 10^9}{18 \cdot 10^{16}} \text{ кг} = 32 \cdot 10^{-7} \text{ кг} = 3.2 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$$ Полученное значение можно также выразить в миллиграммах: $3.2 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 3.2 \text{ мг}$.

Ответ: масса корабля увеличивается на $3.2 \cdot 10^{-6}$ кг.