Номер 1128, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1128. Ускоритель Ереванского физического института позволяет получать электроны с энергией 6 ГэВ. Во сколько раз масса таких электронов больше их массы покоя? Какова масса этих электронов (в а. е. м.)?

Дано:

Энергия электронов $E_{полн} = 6 \text{ ГэВ}$
Справочные данные:
Энергия покоя электрона $E_0 \approx 0.511 \text{ МэВ}$
Энергетический эквивалент 1 а.е.м. равен $931.5 \text{ МэВ}$
Элементарный заряд $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$E_{полн} = 6 \text{ ГэВ} = 6 \times 10^9 \text{ эВ} = 6 \times 10^9 \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 9.612 \times 10^{-10} \text{ Дж}$
Для удобства дальнейших вычислений будем использовать энергию, выраженную в мегаэлектрон-вольтах (МэВ):
$E_{полн} = 6 \text{ ГэВ} = 6000 \text{ МэВ}$

Найти:

1. Отношение релятивистской массы к массе покоя: $\frac{m}{m_0}$.
2. Релятивистскую массу электрона: $m$ в а.е.м.

Решение:

В соответствии со специальной теорией относительности, полная энергия частицы $E$ связана с ее релятивистской массой $m$ формулой $E = mc^2$, а энергия покоя $E_0$ с массой покоя $m_0$ — формулой $E_0 = m_0c^2$. В ускорителях частицы приобретают огромную кинетическую энергию, которая во много раз превышает их энергию покоя. В данном случае энергия электрона $6 \text{ ГэВ}$ значительно больше его энергии покоя $0.511 \text{ МэВ}$, поэтому можно считать, что данная в условии энергия является полной энергией электрона.

Во сколько раз масса таких электронов больше их массы покоя?

Отношение релятивистской массы $m$ к массе покоя $m_0$ можно найти как отношение их полных энергий:

$\frac{m}{m_0} = \frac{E_{полн}/c^2}{E_0/c^2} = \frac{E_{полн}}{E_0}$

Подставим числовые значения:

$\frac{m}{m_0} = \frac{6000 \text{ МэВ}}{0.511 \text{ МэВ}} \approx 11741.68$

Таким образом, релятивистская масса электрона, разогнанного до энергии 6 ГэВ, примерно в 11742 раза превышает его массу покоя.

Ответ: масса таких электронов больше их массы покоя примерно в 11742 раза.

Какова масса этих электронов (в а. е. м.)?

Чтобы определить массу электрона в атомных единицах массы (а.е.м.), воспользуемся связью массы и энергии. Из формулы $E = mc^2$ следует, что массу можно выразить в энергетических единицах, например, в $\text{МэВ}/c^2$.

$m = \frac{E_{полн}}{c^2} = \frac{6000 \text{ МэВ}}{c^2}$

Известно, что одной атомной единице массы соответствует энергия $931.5 \text{ МэВ}$, то есть $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 = 931.5 \text{ МэВ}$, откуда $1 \text{ а.е.м.} = 931.5 \text{ МэВ}/c^2$.

Для перевода массы из $\text{МэВ}/c^2$ в а.е.м., разделим значение массы в $\text{МэВ}/c^2$ на этот коэффициент:

$m \text{ (в а.е.м.)} = \frac{6000 \text{ МэВ}/c^2}{931.5 \text{ МэВ}/(c^2 \cdot \text{а.е.м.})} \approx 6.44122 \text{ а.е.м.}$

Округляя полученный результат, находим массу электрона.

Ответ: масса этих электронов составляет примерно 6.441 а.е.м.