Номер 1123, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1123. Электрон движется со скоростью $0.8c$. Определить полную и кинетическую энергию электрона.

Дано:

Скорость электрона $v = 0.8c$
Масса покоя электрона (табличное значение) $m_0 = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
Скорость света в вакууме (константа) $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Полную энергию $E - ?$
Кинетическую энергию $K - ?$

Решение:

В соответствии со специальной теорией относительности, полная энергия $E$ и кинетическая энергия $K$ частицы, движущейся с релятивистской скоростью $v$, определяются следующими формулами: $E = \gamma m_0 c^2$
$K = E - E_0 = (\gamma - 1)m_0 c^2$
где $m_0$ — масса покоя частицы, $c$ — скорость света, $E_0 = m_0 c^2$ — энергия покоя, а $\gamma$ — лоренц-фактор, равный $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Сначала вычислим лоренц-фактор $\gamma$ для заданной скорости: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.8^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} = \frac{5}{3}$

Затем вычислим энергию покоя электрона $E_0$: $E_0 = m_0 c^2 = (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Полная энергия

Полная энергия равна произведению энергии покоя на лоренц-фактор: $E = \gamma E_0 = \frac{5}{3} \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = 13.665 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} \approx 1.37 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Ответ: полная энергия $E \approx 1.37 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия равна разности между полной энергией и энергией покоя. $K = E - E_0 = 1.3665 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} - 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = (13.665 - 8.199) \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = 5.466 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.
Альтернативный способ расчета через лоренц-фактор дает тот же результат: $K = (\gamma - 1) E_0 = (\frac{5}{3} - 1) \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = \frac{2}{3} \cdot 8.199 \cdot 10^{-14} \text{ Дж} = 5.466 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.
Округляя до трех значащих цифр, получаем: $K \approx 5.47 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.

Ответ: кинетическая энергия $K \approx 5.47 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$.