Номер 1126, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1126. Определить импульс протона, если его энергия равна энергии покоя $\alpha$-частицы. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы приобрести такой импульс?

Дано:

Полная энергия протона $E_p$ равна энергии покоя $\alpha$-частицы $E_{0,\alpha}$.
Масса покоя протона, $m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27}$ кг
Масса покоя $\alpha$-частицы, $m_{\alpha} \approx 6.6447 \times 10^{-27}$ кг
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с
Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Найти:

$p_p$ - импульс протона
$U$ - ускоряющая разность потенциалов

Решение:

Задача решается с использованием формул релятивистской механики, так как энергия протона значительно превышает его энергию покоя, что указывает на его движение со скоростью, близкой к скорости света.

1. Определение импульса протона
Связь между полной энергией частицы $E$, ее импульсом $p$ и массой покоя $m_0$ дается релятивистским соотношением: $E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$

Применительно к протону ($m_0 = m_p$): $E_p^2 = (p_p c)^2 + (m_p c^2)^2$

По условию задачи, полная энергия протона $E_p$ равна энергии покоя $\alpha$-частицы $E_{0,\alpha}$: $E_p = E_{0,\alpha} = m_{\alpha}c^2$

Подставим это условие в соотношение для энергии протона: $(m_{\alpha}c^2)^2 = (p_p c)^2 + (m_p c^2)^2$

Выразим из этого уравнения импульс протона $p_p$: $(p_p c)^2 = (m_{\alpha}c^2)^2 - (m_p c^2)^2$ $p_p^2 c^2 = c^4 (m_{\alpha}^2 - m_p^2)$ $p_p = c\sqrt{m_{\alpha}^2 - m_p^2}$

Подставим числовые значения: $p_p = 3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times \sqrt{(6.6447 \times 10^{-27} \text{ кг})^2 - (1.6726 \times 10^{-27} \text{ кг})^2}$ $p_p = 3 \times 10^8 \times \sqrt{(44.152 - 2.798) \times 10^{-54}} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$ $p_p = 3 \times 10^8 \times \sqrt{41.354 \times 10^{-54}} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$ $p_p = 3 \times 10^8 \times 6.431 \times 10^{-27} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1.929 \times 10^{-18} \text{ кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Импульс протона равен $1.93 \times 10^{-18} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

2. Определение ускоряющей разности потенциалов
Чтобы протон приобрел такой импульс (и, соответственно, такую энергию), его необходимо ускорить в электрическом поле. Работа электрического поля $A$ идет на увеличение кинетической энергии протона $K_p$. Если протон ускоряется разностью потенциалов $U$, то работа поля равна: $A = eU$

Кинетическая энергия $K_p$ в релятивистском случае - это разница между полной энергией $E_p$ и энергией покоя $E_{0,p}$: $K_p = E_p - E_{0,p}$

Приравнивая работу и изменение кинетической энергии (считаем, что начальная кинетическая энергия равна нулю), получаем: $eU = E_p - E_{0,p}$

Используя условие $E_p = E_{0,\alpha} = m_{\alpha}c^2$ и определение энергии покоя протона $E_{0,p} = m_p c^2$, находим $U$: $eU = m_{\alpha}c^2 - m_p c^2$ $U = \frac{(m_{\alpha} - m_p)c^2}{e}$

Подставим числовые значения: $U = \frac{(6.6447 \times 10^{-27} \text{ кг} - 1.6726 \times 10^{-27} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$ $U = \frac{4.9721 \times 10^{-27} \text{ кг} \times 9 \times 10^{16} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}}$ $U = \frac{4.4749 \times 10^{-10} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 2.793 \times 10^9 \text{ В}$

Полученное значение удобно выразить в гигавольтах (ГВ): $1 \text{ ГВ} = 10^9 \text{ В}$. $U \approx 2.79 \text{ ГВ}$

Ответ: Ускоряющая разность потенциалов должна быть равна $2.79 \times 10^9 \text{ В}$ (или 2.79 ГВ).