Номер 1111, страница 147 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1111. Две частицы удаляются друг от друга, имея скорость $0.8c$ каждая, относительно земного наблюдателя. Какова относительная скорость частиц?

Дано:

Скорость первой частицы относительно земного наблюдателя, $v_1 = 0,8c$

Скорость второй частицы относительно земного наблюдателя, $v_2 = 0,8c$

Частицы удаляются друг от друга.

$c$ — скорость света в вакууме.

Найти:

Относительная скорость частиц, $v_{отн}$

Решение:

Поскольку скорости частиц являются релятивистскими (сравнимыми со скоростью света), для нахождения их относительной скорости необходимо применять релятивистский закон сложения (или вычитания) скоростей, который следует из преобразований Лоренца. Классическая формула $v_{отн} = v_1 + v_2$ здесь неверна.

Свяжем с земным наблюдателем инерциальную систему отсчета К. Направим ось $Ox$ вдоль движения первой частицы. Так как частицы удаляются друг от друга, их скорости в системе К будут направлены в противоположные стороны:

Скорость первой частицы: $u_1 = +0,8c$

Скорость второй частицы: $u_2 = -0,8c$

Для нахождения относительной скорости частиц перейдем в систему отсчета К', связанную с первой частицей. Скорость системы К' относительно системы К равна $v = u_1 = 0,8c$. Нам нужно найти скорость второй частицы в системе К', то есть $v_{отн}$.

Релятивистская формула преобразования скорости при переходе от системы К к системе К' имеет вид:

$u' = \frac{u - v}{1 - \frac{uv}{c^2}}$

где $u'$ — искомая скорость объекта (второй частицы) в движущейся системе отсчета К', $u$ — скорость этого же объекта в "неподвижной" системе отсчета К, а $v$ — скорость системы К' относительно К.

В нашем случае:

$u' = v_{отн}$

$u = u_2 = -0,8c$

$v = u_1 = 0,8c$

Подставим эти значения в формулу:

$v_{отн} = \frac{-0,8c - 0,8c}{1 - \frac{(-0,8c)(0,8c)}{c^2}}$

Проведем вычисления:

$v_{отн} = \frac{-1,6c}{1 - \frac{-0,64c^2}{c^2}} = \frac{-1,6c}{1 + 0,64} = \frac{-1,6c}{1,64}$

Знак "минус" в результате означает, что в системе отсчета первой частицы вторая частица движется в отрицательном направлении оси $Ox$. Вопрос задачи — найти относительную скорость, то есть модуль полученной величины.

$|v_{отн}| = \frac{1,6}{1,64}c = \frac{160}{164}c = \frac{40}{41}c$

Переведем в десятичную дробь для наглядности:

$|v_{отн}| \approx 0,976c$

Таким образом, относительная скорость удаления частиц меньше скорости света, что соответствует основному постулату специальной теории относительности.

Ответ: Относительная скорость частиц равна $\frac{40}{41}c$, что приблизительно составляет $0,976c$.