Страница 147 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1108. Сравнить время приёма светового сигнала с одного расстояния, посланного с ракеты, если:

а) ракета удаляется от наблюдателя;

б) ракета приближается к наблюдателю.

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать один из фундаментальных принципов физики — второй постулат специальной теории относительности. Он гласит, что скорость света в вакууме ($c$) является константой и не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя. В обоих рассматриваемых случаях сигнал посылается "с одного расстояния", которое мы обозначим как $L$.

а) ракета удаляется от наблюдателя

В момент, когда ракета находится на расстоянии $L$ от наблюдателя, она испускает световой сигнал. Несмотря на то, что ракета удаляется от наблюдателя (пусть со скоростью $v$), испущенный ею свет, согласно второму постулату СТО, будет распространяться в сторону наблюдателя со скоростью, равной $c$. Время $t_а$, необходимое свету, чтобы преодолеть исходное расстояние $L$ и достичь наблюдателя, вычисляется как отношение расстояния к скорости:

$t_а = \frac{L}{c}$

Скорость и направление движения ракеты в момент испускания сигнала (и после него) не влияют на скорость распространения самого света в вакууме.

Ответ: Время приёма сигнала равно $t_а = \frac{L}{c}$.

б) ракета приближается к наблюдателю

Ситуация аналогична предыдущей. Ракета испускает световой сигнал в тот момент, когда находится на том же расстоянии $L$ от наблюдателя, но на этот раз движется в его сторону. Скорость светового сигнала относительно наблюдателя по-прежнему равна $c$. Движение источника не "складывается" со скоростью света. Таким образом, время $t_б$, которое потребуется сигналу для преодоления расстояния $L$, будет таким же:

$t_б = \frac{L}{c}$

Ответ: Время приёма сигнала равно $t_б = \frac{L}{c}$.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что $t_а = t_б$. Время приёма светового сигнала, посланного с одного и того же расстояния, будет одинаковым в обоих случаях. Движение ракеты (удаление или приближение) изменяет частоту и длину волны принимаемого света (эффект Доплера), но не время его распространения до наблюдателя.

1109. Элементарная частица нейтрино движется со скоростью света $c$. Наблюдатель движется навстречу нейтрино со скоростью $v$. Какова скорость нейтрино относительно наблюдателя?

Дано:

Скорость нейтрино в неподвижной системе отсчета: $v_н = c$
Скорость наблюдателя: $v_{набл} = v$
Движение: навстречу

Найти:

Скорость нейтрино относительно наблюдателя, $u'$.

Решение:

Эта задача решается на основе постулатов специальной теории относительности (СТО), поскольку скорость одного из объектов равна скорости света.

Ключевым для решения является второй постулат СТО (принцип инвариантности скорости света), который гласит: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника или наблюдателя.

В условии задачи говорится, что нейтрино движется со скоростью света $c$. Хотя согласно современным научным данным нейтрино имеет массу покоя (пусть и очень малую) и, следовательно, не может достичь скорости света, в рамках данной задачи мы должны строго следовать ее условию.

Поскольку по условию скорость нейтрино равна $c$, то согласно второму постулату СТО, любой наблюдатель, находящийся в инерциальной системе отсчета (то есть движущийся равномерно и прямолинейно), измерит ту же самую скорость. Наблюдатель, движущийся со скоростью $v$, является инерциальной системой отсчета. Следовательно, скорость нейтрино относительно этого наблюдателя также будет равна $c$.

Этот фундаментальный вывод можно подтвердить и с помощью релятивистского закона сложения скоростей. Пусть неподвижная система отсчета $K$ связана, например, с Землей. Направим ось $Ox$ по направлению движения нейтрино.

Скорость нейтрино в системе $K$ равна $u = c$.
Наблюдатель движется навстречу, поэтому его скорость в системе $K$ равна $v_{o} = -v$.

Скорость нейтрино $u'$ в системе отсчета, связанной с наблюдателем, находится по формуле преобразования скоростей Лоренца:

$u' = \frac{u - v_{o}}{1 - \frac{u \cdot v_{o}}{c^2}}$

Подставим в формулу значения $u=c$ и $v_{o}=-v$:

$u' = \frac{c - (-v)}{1 - \frac{c \cdot (-v)}{c^2}} = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = \frac{c + v}{1 + \frac{v}{c}}$

Упростим полученное выражение:

$u' = \frac{c + v}{\frac{c + v}{c}} = (c + v) \cdot \frac{c}{c + v} = c$

Математический расчет полностью подтверждает вывод, сделанный на основе постулата СТО.

Ответ: скорость нейтрино относительно наблюдателя равна скорости света $c$.

1110. Две частицы, расстояние между которыми $l = 10$ м, летят навстречу друг другу со скоростями $v = 0,6c$. Через какой промежуток времени по лабораторным часам произойдёт соударение?

Дано:

Найти:

Решение:

Задачу будем решать в лабораторной системе отсчета, так как требуется найти промежуток времени по лабораторным часам. В этой системе отсчета в начальный момент времени расстояние между частицами равно $l$, и они движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по модулю $v$.

Скорость сближения двух частиц в лабораторной системе отсчета равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v + v = 2v$

Время $t$, через которое произойдет соударение, равно начальному расстоянию между частицами, деленному на скорость их сближения:

$t = \frac{l}{v_{сбл}} = \frac{l}{2v}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t = \frac{10 \text{ м}}{2 \cdot 1,8 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{10 \text{ м}}{3,6 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 2,78 \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Можно выразить это время в наносекундах ($1 \text{ нс} = 10^{-9} \text{ с}$):

$t \approx 2,78 \cdot 10^{-8} \text{ с} = 27,8 \cdot 10^{-9} \text{ с} = 27,8 \text{ нс}$

Ответ: соударение произойдет через промежуток времени $t \approx 2,78 \cdot 10^{-8} \text{ с}$ (или $27,8 \text{ нс}$).

1111. Две частицы удаляются друг от друга, имея скорость $0.8c$ каждая, относительно земного наблюдателя. Какова относительная скорость частиц?

Дано:

Скорость первой частицы относительно земного наблюдателя, $v_1 = 0,8c$

Скорость второй частицы относительно земного наблюдателя, $v_2 = 0,8c$

Частицы удаляются друг от друга.

$c$ — скорость света в вакууме.

Найти:

Относительная скорость частиц, $v_{отн}$

Решение:

Поскольку скорости частиц являются релятивистскими (сравнимыми со скоростью света), для нахождения их относительной скорости необходимо применять релятивистский закон сложения (или вычитания) скоростей, который следует из преобразований Лоренца. Классическая формула $v_{отн} = v_1 + v_2$ здесь неверна.

Свяжем с земным наблюдателем инерциальную систему отсчета К. Направим ось $Ox$ вдоль движения первой частицы. Так как частицы удаляются друг от друга, их скорости в системе К будут направлены в противоположные стороны:

Скорость первой частицы: $u_1 = +0,8c$

Скорость второй частицы: $u_2 = -0,8c$

Для нахождения относительной скорости частиц перейдем в систему отсчета К', связанную с первой частицей. Скорость системы К' относительно системы К равна $v = u_1 = 0,8c$. Нам нужно найти скорость второй частицы в системе К', то есть $v_{отн}$.

Релятивистская формула преобразования скорости при переходе от системы К к системе К' имеет вид:

$u' = \frac{u - v}{1 - \frac{uv}{c^2}}$

где $u'$ — искомая скорость объекта (второй частицы) в движущейся системе отсчета К', $u$ — скорость этого же объекта в "неподвижной" системе отсчета К, а $v$ — скорость системы К' относительно К.

В нашем случае:

$u' = v_{отн}$

$u = u_2 = -0,8c$

$v = u_1 = 0,8c$

Подставим эти значения в формулу:

$v_{отн} = \frac{-0,8c - 0,8c}{1 - \frac{(-0,8c)(0,8c)}{c^2}}$

Проведем вычисления:

$v_{отн} = \frac{-1,6c}{1 - \frac{-0,64c^2}{c^2}} = \frac{-1,6c}{1 + 0,64} = \frac{-1,6c}{1,64}$

Знак "минус" в результате означает, что в системе отсчета первой частицы вторая частица движется в отрицательном направлении оси $Ox$. Вопрос задачи — найти относительную скорость, то есть модуль полученной величины.

$|v_{отн}| = \frac{1,6}{1,64}c = \frac{160}{164}c = \frac{40}{41}c$

Переведем в десятичную дробь для наглядности:

$|v_{отн}| \approx 0,976c$

Таким образом, относительная скорость удаления частиц меньше скорости света, что соответствует основному постулату специальной теории относительности.

Ответ: Относительная скорость частиц равна $\frac{40}{41}c$, что приблизительно составляет $0,976c$.

1112. С космического корабля, движущегося к Земле со скоростью 0,4c, посылают два сигнала: световой сигнал и пучок быстрых частиц, имеющих скорость относительно корабля 0,8c. В момент пуска сигналов корабль находился на расстоянии 12 Гм от Земли. Какой из сигналов и на сколько раньше будет принят на Земле?

Дано:

Скорость космического корабля относительно Земли (система отсчета K): $v = 0.4c$
Скорость пучка частиц относительно корабля (система отсчета K'): $v' = 0.8c$
Расстояние от корабля до Земли в момент пуска сигналов: $S = 12 \text{ Гм} = 12 \cdot 10^9 \text{ м}$
Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Какой из сигналов придет раньше и на сколько: $\Delta t$

Решение:

1. Найдем время, за которое световой сигнал достигнет Земли. Согласно второму постулату специальной теории относительности, скорость света не зависит от скорости движения источника. Поэтому скорость светового сигнала относительно Земли равна $c$.

Время движения светового сигнала $t_1$ можно найти по формуле: $t_1 = \frac{S}{c}$

2. Найдем скорость пучка частиц относительно Земли. Для этого воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей. Так как и корабль, и частицы движутся в одном направлении (к Земле), формула имеет вид: $u = \frac{v + v'}{1 + \frac{v \cdot v'}{c^2}}$

Подставим значения скоростей: $u = \frac{0.4c + 0.8c}{1 + \frac{0.4c \cdot 0.8c}{c^2}} = \frac{1.2c}{1 + 0.32} = \frac{1.2c}{1.32} = \frac{10}{11}c$

3. Теперь найдем время, за которое пучок частиц достигнет Земли: $t_2 = \frac{S}{u} = \frac{S}{\frac{10}{11}c} = \frac{11S}{10c}$

4. Сравним время прибытия сигналов $t_1$ и $t_2$: $t_1 = \frac{S}{c}$ и $t_2 = 1.1 \frac{S}{c}$.

Поскольку $t_2 > t_1$, световой сигнал придет на Землю раньше.

5. Найдем разницу во времени прибытия сигналов $\Delta t$: $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{11S}{10c} - \frac{S}{c} = \frac{11S - 10S}{10c} = \frac{S}{10c}$

Подставим числовые значения: $\Delta t = \frac{12 \cdot 10^9 \text{ м}}{10 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{12 \cdot 10^9}{30 \cdot 10^8} \text{ с} = \frac{120}{30} \text{ с} = 4 \text{ с}$

Ответ: Световой сигнал будет принят на Земле раньше пучка частиц на 4 с.

1113. Какова масса протона, летящего со скоростью $2,4 \cdot 10^8 \text{ м/с}$? Массу покоя протона считать равной $1 \text{ а. е. м.}^2$

Дано:

Скорость протона $v = 2,4 \cdot 10^8$ м/с
Масса покоя протона $m_0 = 1$ а. е. м. (атомная единица массы)

Постоянная: скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.
Перевод в СИ: $1 \text{ а. е. м.} \approx 1,66 \cdot 10^{-27}$ кг.

Найти:

Релятивистскую массу протона $m$.

Решение:

Масса тела, движущегося со скоростью, сопоставимой со скоростью света, называется релятивистской массой и вычисляется по формуле из специальной теории относительности:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $m_0$ — масса покоя, $v$ — скорость тела, $c$ — скорость света в вакууме.

Примечание: в условии задачи, вероятно, допущена опечатка "а. е. м.²"; имеется в виду "а. е. м." — атомная единица массы.

Сначала вычислим отношение скорости протона к скорости света в квадрате:

$\frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{v}{c}\right)^2 = \left(\frac{2,4 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}\right)^2 = (0,8)^2 = 0,64$

Теперь вычислим значение знаменателя в формуле:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь мы можем найти релятивистскую массу $m$. Расчет можно провести как в атомных единицах массы, так и в килограммах.

Расчет в а. е. м.:

$m = \frac{1 \text{ а. е. м.}}{0,6} \approx 1,67 \text{ а. е. м.}$

Расчет в килограммах (система СИ):

$m = \frac{1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{0,6} \approx 2,77 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

Ответ: масса протона составляет приблизительно $1,67$ а. е. м. или $2,77 \cdot 10^{-27}$ кг.

1114. Во сколько раз увеличивается масса частицы при движении со скоростью $0.99c$?

Дано:

Скорость частицы $v = 0,99c$, где $c$ — скорость света в вакууме.

Найти:

Отношение $\frac{m}{m_0}$ — во сколько раз увеличится масса частицы.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, масса тела зависит от скорости его движения. Релятивистская масса $m$ (масса движущейся частицы) связана с массой покоя $m_0$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличивается масса, необходимо найти отношение релятивистской массы $m$ к массе покоя $m_0$:

$\frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим в формулу данное значение скорости $v = 0,99c$:

$\frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,99c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{0,99^2 c^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,99^2}}$

Вычислим значение выражения под корнем:

$1 - 0,99^2 = 1 - 0,9801 = 0,0199$

Теперь найдем итоговое отношение:

$\frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{0,0199}} \approx \frac{1}{0,14107} \approx 7,0888$

Округляя результат до сотых, получаем, что масса частицы увеличивается примерно в 7,09 раз.

Ответ: масса частицы увеличивается примерно в 7,09 раз.