Страница 152 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

1148. Определить энергию фотонов, соответствующих наиболее длинным ($\lambda = 760 \text{ нм}$) и наиболее коротким ($\lambda = 380 \text{ нм}$) волнам видимой части спектра.

Дано:

Наиболее длинная волна видимого спектра, $ \lambda_{1} = 760 \text{ нм} $
Наиболее короткая волна видимого спектра, $ \lambda_{2} = 380 \text{ нм} $
Постоянная Планка, $ h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} $
Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Перевод в систему СИ:

$ \lambda_1 = 760 \cdot 10^{-9} \text{ м} $
$ \lambda_2 = 380 \cdot 10^{-9} \text{ м} $

Найти:

Энергию фотона для наиболее длинной волны, $ E_{1} $ - ?
Энергию фотона для наиболее короткой волны, $ E_{2} $ - ?

Решение:

Энергия фотона $ E $ связана с его частотой $ \nu $ и длиной волны $ \lambda $ через формулу Планка:

$ E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} $

Из данной формулы следует, что энергия фотона обратно пропорциональна длине волны. Следовательно, фотоны с наибольшей длиной волны будут иметь наименьшую энергию, а фотоны с наименьшей длиной волны — наибольшую.

Энергия фотонов, соответствующих наиболее длинным волнам ($ \lambda = 760 \text{ нм} $)

Рассчитаем энергию $ E_1 $, соответствующую длине волны $ \lambda_1 $:

$ E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} $

Подставим числовые значения:

$ E_1 = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{760 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26} \text{ Дж} \cdot \text{м}}{760 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 2.62 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} $

Ответ: $ 2.62 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} $.

Энергия фотонов, соответствующих наиболее коротким волнам ($ \lambda = 380 \text{ нм} $)

Рассчитаем энергию $ E_2 $, соответствующую длине волны $ \lambda_2 $:

$ E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} $

Подставим числовые значения:

$ E_2 = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{380 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26} \text{ Дж} \cdot \text{м}}{380 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx 5.23 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} $

Ответ: $ 5.23 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} $.

1149. К какому виду следует отнести излучения, энергия фотонов которых равна:

а) $4140 \text{ эВ}$;

б) $2,07 \text{ эВ}$?

Дано:

Найти:

К какому виду излучения относятся фотоны с энергией $E_a$ и $E_б$.

Решение:

Чтобы определить вид электромагнитного излучения по известной энергии его фотонов $E$, необходимо найти соответствующую длину волны $\lambda$. Связь между энергией фотона и длиной волны дается формулой:

$E = \frac{hc}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка ($h \approx 6,626 \times 10^{-34}$ Дж·с), $c$ — скорость света в вакууме ($c \approx 3 \times 10^8$ м/с). Отсюда можно выразить длину волны:

$\lambda = \frac{hc}{E}$

Для удобства расчетов, когда энергия выражена в электрон-вольтах (эВ), можно использовать приближенное значение произведения $hc \approx 1240$ эВ·нм. Тогда формула для длины волны в нанометрах (нм) выглядит так:

$\lambda (\text{нм}) \approx \frac{1240}{E (\text{эВ})}$

После вычисления длины волны мы можем определить тип излучения, используя шкалу электромагнитных волн.

а) Дана энергия фотона $E_a = 4140$ эВ.

Вычислим соответствующую длину волны:

$\lambda_a \approx \frac{1240 \text{ эВ·нм}}{4140 \text{ эВ}} \approx 0,2995 \text{ нм}$

Длина волны $\lambda_a \approx 0,3$ нм. Этот диапазон длин волн (от $0,01$ нм до $10$ нм) соответствует рентгеновскому излучению.

Ответ: излучение с энергией фотонов 4140 эВ относится к рентгеновскому излучению.

б) Дана энергия фотона $E_б = 2,07$ эВ.

Вычислим соответствующую длину волны:

$\lambda_б \approx \frac{1240 \text{ эВ·нм}}{2,07 \text{ эВ}} \approx 599 \text{ нм}$

Длина волны $\lambda_б \approx 599$ нм попадает в диапазон видимого света (приблизительно от 380 нм до 750 нм). Эта длина волны соответствует оранжевому цвету в спектре видимого света.

Ответ: излучение с энергией фотонов 2,07 эВ относится к видимому излучению (оранжевый свет).

1150. Определить длину волны излучения, фотоны которого имеют такую же энергию, что и электрон, ускоренный напряжением 4 В.

Дано:

Напряжение, ускоряющее электрон, $U = 4$ В.
Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с.
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8$ м/с.
Элементарный заряд, $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл.

Найти:

Длину волны излучения $\lambda$.

Решение:

Энергия фотона ($E_{ф}$) связана с длиной волны излучения ($\lambda$) соотношением Планка: $$E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$$ где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света.

Кинетическая энергия ($E_{к}$), которую приобретает электрон, проходя ускоряющую разность потенциалов (напряжение) $U$, равна работе электрического поля: $$E_{к} = eU$$ где $e$ — модуль заряда электрона (элементарный заряд).

Согласно условию задачи, энергия фотона равна кинетической энергии, приобретенной электроном: $$E_{ф} = E_{к}$$

Приравнивая правые части выражений для энергий, получаем уравнение: $$\frac{hc}{\lambda} = eU$$

Из этого уравнения выразим искомую длину волны $\lambda$: $$\lambda = \frac{hc}{eU}$$

Теперь подставим числовые значения физических величин и констант в полученную формулу для расчета длины волны: $$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с} \times 3 \times 10^8 \text{ м/с}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 4 \text{ В}}$$ Поскольку $1 \text{ Кл} \times 1 \text{ В} = 1 \text{ Дж}$, единицы измерения сокращаются, и результат получается в метрах. $$\lambda = \frac{19.878 \times 10^{-26} \text{ Дж·м}}{6.408 \times 10^{-19} \text{ Дж}} \approx 3.102 \times 10^{-7} \text{ м}$$

Результат удобно представить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$): $$3.102 \times 10^{-7} \text{ м} = 310.2 \text{ нм}$$ Округляя до целых, получаем 310 нм. Это значение соответствует ультрафиолетовому диапазону излучения.

Ответ: $\lambda \approx 310$ нм.

1151. Найти частоту и длину волны излучения, энергия фотонов которого равна энергии покоя электрона.

Дано:

Энергия фотона $E$ равна энергии покоя электрона $E_0$.

Для решения задачи используем справочные данные в системе СИ:

• Масса покоя электрона $m_e = 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
• Постоянная Планка $h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж$\cdot$с
• Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Частоту излучения $\nu$ и длину волны излучения $\lambda$.

Решение:

1. Энергия покоя электрона.

Согласно формуле Эйнштейна, энергия покоя $E_0$ частицы с массой покоя $m_e$ равна:

$E_0 = m_e c^2$

По условию задачи, энергия фотона $E$ равна этой величине:

$E = E_0 = m_e c^2$

2. Нахождение частоты ($\nu$).

Энергия фотона также выражается через его частоту $\nu$ с помощью формулы Планка:

$E = h \nu$

Приравнивая два выражения для энергии, получаем:

$h \nu = m_e c^2$

Отсюда выражаем частоту $\nu$:

$\nu = \frac{m_e c^2}{h}$

Подставим числовые значения:

$\nu = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{6.626 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц} = \frac{81.99 \cdot 10^{-15}}{6.626 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 1.237 \cdot 10^{20} \text{ Гц}$

3. Нахождение длины волны ($\lambda$).

Длина волны $\lambda$ связана с частотой $\nu$ и скоростью света $c$ соотношением:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Подставим найденное значение частоты:

$\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.237 \cdot 10^{20} \text{ Гц}} \approx 2.424 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Альтернативно, можно было найти длину волны напрямую из энергии. Зная, что $E = \frac{hc}{\lambda}$, и $E = m_e c^2$, получаем:

$\frac{hc}{\lambda} = m_e c^2$

$\lambda = \frac{hc}{m_e c^2} = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина известна как комптоновская длина волны электрона.

$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{27.33 \cdot 10^{-23}} \text{ м} \approx 2.42 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Это излучение относится к гамма-диапазону электромагнитного спектра.

Ответ: частота излучения $\nu \approx 1.24 \cdot 10^{20}$ Гц, длина волны $\lambda \approx 2.42 \cdot 10^{-12}$ м (или 2.42 пм).

1152. Какой импульс фотона ультрафиолетового излучения с длиной волны 100 нм?

1152. Дано:
Длина волны ультрафиолетового излучения $\lambda = 100 \text{ нм}$.
Постоянная Планка $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$.

Найти:
Импульс фотона $p$.

Решение:
Импульс фотона $p$ связан с его длиной волны $\lambda$ соотношением, предложенным де Бройлем. Формула для импульса фотона выглядит следующим образом:

$p = \frac{h}{\lambda}$

где $h$ — это постоянная Планка.

Подставим данные значения в систему СИ в формулу для расчета импульса:

$p = \frac{6.63 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{10^{-7} \text{ м}}$

Выполним вычисления:

$p = 6.63 \times 10^{-34 - (-7)} \frac{\text{Дж} \cdot \text{с}}{\text{м}} = 6.63 \times 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: импульс фотона равен $6.63 \times 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

1153. Каков импульс фотона, энергия которого равна $3 \text{ эВ}$?

Дано:

Энергия фотона $E = 3 \text{ эВ}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Найти:

$p$ - ?

Решение:

Энергия фотона $E$ и его импульс $p$ связаны фундаментальным соотношением, вытекающим из специальной теории относительности. Для безмассовой частицы, какой является фотон, эта связь имеет вид:

$E = pc$

где $c$ – скорость света в вакууме.

Из этой формулы можно выразить импульс фотона:

$p = \frac{E}{c}$

Теперь подставим числовые значения энергии в джоулях и скорости света в полученную формулу:

$p = \frac{4.8 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 1.6 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: $1.6 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

1154. При какой скорости электроны будут иметь энергию, равную энергии фотонов ультрафиолетового света с длиной волны 200 нм?

Дано:

Длина волны ультрафиолетового света, $\lambda = 200 \text{ нм}$
Кинетическая энергия электрона, $E_k$
Энергия фотона, $E_{ph}$
$E_k = E_{ph}$
Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Переведем данные в систему СИ:

$\lambda = 200 \text{ нм} = 200 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Скорость электрона, $v - ?$

Решение:

По условию задачи, кинетическая энергия электрона должна быть равна энергии фотона. Запишем формулы для обеих энергий.

Энергия фотона определяется его длиной волны:

$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda}$

Кинетическая энергия электрона, движущегося со скоростью $v$, вычисляется по классической формуле (предполагая, что скорость электрона значительно меньше скорости света):

$E_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Приравняем энергии согласно условию задачи:

$\frac{m_e v^2}{2} = \frac{hc}{\lambda}$

Выразим из этого уравнения скорость электрона $v$:

$v^2 = \frac{2hc}{m_e \lambda}$

$v = \sqrt{\frac{2hc}{m_e \lambda}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{39.756 \cdot 10^{-26}}{18.22 \cdot 10^{-38}}} \text{ м/с}$

$v \approx \sqrt{2.182 \cdot 10^{12}} \text{ м/с}$

$v \approx 1.477 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Полученная скорость $v \approx 1.48 \cdot 10^6 \text{ м/с}$ составляет менее 1% от скорости света ($c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$), поэтому использование нерелятивистской формулы для кинетической энергии является корректным.

Ответ: скорость, при которой электроны будут иметь энергию, равную энергии фотонов ультрафиолетового света с длиной волны 200 нм, составляет примерно $1.48 \cdot 10^6 \text{ м/с}$.

1155. Источник света мощностью 100 Вт испускает $5 \cdot 10^{20}$ фотонов за 1 с. Найти среднюю длину волны излучения.

Дано:

Найти:

Решение:

Полная энергия $E$, которую источник света излучает за время $t$, определяется его мощностью $P$:

$E = P \cdot t$

Подставим значения из условия задачи, чтобы найти энергию, излученную за 1 секунду:

$E = 100 \text{ Вт} \cdot 1 \text{ с} = 100 \text{ Дж}$

Эта общая энергия распределена между всеми испущенными фотонами. Зная количество фотонов $N$, мы можем найти среднюю энергию одного фотона $E_{ф}$:

$E = N \cdot E_{ф}$

Отсюда средняя энергия фотона равна:

$E_{ф} = \frac{E}{N} = \frac{100 \text{ Дж}}{5 \cdot 10^{20}} = 20 \cdot 10^{-20} \text{ Дж} = 2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Энергия фотона $E_{ф}$ связана со средней длиной волны излучения $\lambda$ через формулу Планка:

$E_{ф} = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

где $h$ — постоянная Планка, а $c$ — скорость света.

Выразим из этой формулы искомую среднюю длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{h \cdot c}{E_{ф}}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$\lambda = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{2 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \approx 9.945 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Результат можно выразить в нанометрах ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$), что является более удобной единицей для длин волн видимого и ближнего инфракрасного света:

$\lambda \approx 9.945 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 994.5 \text{ нм}$

Ответ: средняя длина волны излучения составляет приблизительно $9.945 \cdot 10^{-7}$ м, или 994.5 нм.

1156. Тренированный глаз, длительно находящийся в темноте, воспринимает свет с длиной волны 0,5 мкм при мощности $2.1 \cdot 10^{-17}$ Вт. Верхний предел мощности, воспринимаемый безболезненно глазом, $2 \cdot 10^{-5}$ Вт. Сколько фотонов попадает в каждом случае на сетчатку глаза за 1 с?

Дано:

Длина волны света, $\lambda = 0,5 \text{ мкм}$
Минимальная мощность, $P_1 = 2,1 \cdot 10^{-17} \text{ Вт}$
Максимальная (безболезненная) мощность, $P_2 = 2 \cdot 10^{-5} \text{ Вт}$
Промежуток времени, $t = 1 \text{ с}$
Постоянная Планка, $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

Число фотонов в первом случае $N_1$ за 1 с.
Число фотонов во втором случае $N_2$ за 1 с.

Решение:

Мощность светового излучения $P$ определяется как энергия $E$, переносимая светом за единицу времени $t$: $P = \frac{E}{t}$. Общая энергия светового потока складывается из энергий отдельных квантов света — фотонов. Энергия одного фотона $E_{ph}$ вычисляется по формуле Планка: $E_{ph} = h\nu$, где $\nu$ — частота света. Частота связана с длиной волны $\lambda$ соотношением $\nu = \frac{c}{\lambda}$.

Таким образом, энергия одного фотона равна: $E_{ph} = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Общая энергия $E$, попавшая на сетчатку за время $t$, равна произведению числа фотонов $N$ на энергию одного фотона: $E = N \cdot E_{ph}$. Подставив это в формулу мощности, получим: $P = \frac{N \cdot E_{ph}}{t}$.

Отсюда можно выразить искомое число фотонов $N$, попадающих на сетчатку за время $t$: $N = \frac{P \cdot t}{E_{ph}} = \frac{P \cdot t \cdot \lambda}{h \cdot c}$

Поскольку нас интересует число фотонов за $t = 1 \text{ с}$, формула принимает вид: $N = \frac{P \cdot \lambda}{h \cdot c}$

Расчет для случая с минимальной мощностью ($P_1$):
Найдем число фотонов $N_1$, попадающих на сетчатку в темноте. $N_1 = \frac{P_1 \cdot \lambda}{h \cdot c} = \frac{2,1 \cdot 10^{-17} \text{ Вт} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{1,05 \cdot 10^{-23}}{1,989 \cdot 10^{-25}} \approx 52,8$
С учетом точности исходных данных (две значащие цифры в $P_1$), округляем результат.

Ответ: при минимальной мощности на сетчатку глаза за 1 секунду попадает примерно 53 фотона.

Расчет для случая с максимальной мощностью ($P_2$):
Найдем число фотонов $N_2$, соответствующее верхнему безболезненному пределу мощности. $N_2 = \frac{P_2 \cdot \lambda}{h \cdot c} = \frac{2 \cdot 10^{-5} \text{ Вт} \cdot 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{1 \cdot 10^{-11}}{1,989 \cdot 10^{-25}} \approx 5,027 \cdot 10^{13}$
С учетом точности исходных данных (одна значащая цифра в $P_2$), округляем результат.

Ответ: при максимальной безболезненной мощности на сетчатку глаза за 1 секунду попадает примерно $5 \cdot 10^{13}$ фотонов.